Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1979. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 15)

III. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL - Dr. Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához I

Foglalkozzunk ezután a ß, y esetpárral. A [c, d] = /u és az [u, v] = v szakaszok létezéséből f{x) folytonossága révén következik olyan n' zárt szakasz létezése a [d, w]-szakaszban, amelynek kezdő, illetve végpontjában az iterációs alapfüggvény az a, illetve b értéket veszi fel. így a ju' és v két olyan szakasz, amelyre az a, 7 esetpárra leírt bizonyításmód közvetlenül alkalmazható. Az a, 6 esetpár is visszavezethető az a, 7 esetpárra; ugyanis a [d, u] szakaszban van olyan v' zárt szakasz, amelynek kezdőpontjában f{x) maximális (b), a végpontjában minimális (a) értékű. Tehát a v' és v szakaszra az a, 7 esetpárra leírt bizonyítás alkalmazható. Ebben az esetben a bizonyítás úgy is elvégezhető, hogy az a, 7 esetpárhoz hasonlóan a [c, d] = n szakaszban ugyanolyan v_\ = [«_ 1, v_ j], v~2, • • -,

v-n> • • • végtelen intervallum-sorozatot képezünk — az ott leírt módon — amelynek elemei páronként diszjunktak, s amelyekre teljesül, hogy (v_^

n

+iy)

1 = Vn (n = 0, 1, 2,. . .). A v_

n = szakaszban f

n + l(

x) iterált függvény minden [a, b] szakaszbeli értéket felvesz, mert fn+l(

u-n) =Á«) =a,f

n

+i(v_

n) =/!>)_= b és/„

+

1(x) folytonos, ezért az/„

+i(x)-x = 0 egyenletnek van megoldása; legyen ez x . Mivel (x)

1e^_(„_i), (x)

2ei;_(„_ 2)> • • -(x)n

e

v> ezért az x, (x)i, (x)

2, . . . (x)

M iterált pontok páronként különbözőek, vagyis x (h+1)edrendű fixpont. Végül a ß, 8 esetpárral foglalkozunk (3. ábra). Ekkor a v szakaszban van olyan e elsőrendű fixpont, amelytől balra f{x) < x, hacsak x > u. Mivel a < c < d < e, ezért mind a c, mind a d pontnak van az [u, é) szakaszban legalább egy inverziterált pontja. Tekintsük a c pont [u, é) szakaszbeli inverz-iteráltjai közül azt, amelynek abszcisszája a legnagyobb és jelöljük ezt c_i-gyel c

x= max (x),/(x) = c. fid

I y yb a c au qhe vb X 3. ábra 400