Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1979. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 15)

III. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL - Dr. Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához I

MEGJEGYZÉSEK A VALÓS FÜGGVÉNYEK ITERÁLÁSÁHOZ I. Dr. SZEPESSY BÁLINT (Közlésre érkezett: 1979. január 4.) 1. Bevezetés A valós függvények iterációelmélete még csak kezdeti fejlődési szakaszában van. A témához kapcsolódó dolgozatok eleinte gyakorlati jellegű problémák megoldásával (ugyanis az iterációs eljárások a gyakorlatban hamar alkalmazást nyertek), később speciális elméleti kérdések tisztázásával foglalkoztak. Az első tágabb alapú rendszerező dolgozat Barna Béla professzortól jelent meg ([1], [2], [3]). Ő — az addig követett lokális vizsgálatokon túl — egy olyan véges szakaszban értelmezett folytonos függvény iterálásával foglalkozik, amely a szakaszt önmagára képezi le. A szerző az elmélet felépítését a klasszikus analízis módszereivel végzi el és nem mondható, hogy elnyerte a teljességet. Mostanában - az említett dolgozat kapcsán is - növekedett azoknak a száma, akik a valós függvények iterációjának elméletével foglalkoznak, egyre több kérdést tisztáznak, de még így is sok probléma megoldása lenne kívánatos, igaz, hogy ezek a gyakorlatban nemigen okoznak nehézségeket, főként ha „gyakorlaton" a korszerű számolási eljárásokban való alkalmazásokat értjük. Ebben a dolgozatban véges szakaszt önmagára leképező folytonos függvény esetén a következő kérdést vizsgáljuk: Milyen iterációs alapfüggvény esetén van bármilyen magas rendű ciklus? Ez a kérdés az elmélet szempontjából érdekes és tudomásunk szerint nem tisztázott. A dolgozat bizonyos feltételek mellett választ ad a felvetett kérdésre, de nem jelenti a probléma lezárását. 2. Alapfogalmak Legyen f(x) az [a, b] {a < b) zárt intervallumban értelmezett olyan egyértékű valós függvény, amely eleget tesz a következő feltételeknek. 1. f{x) az adott szakasz minden belső pontjában folytonos, a kezdő- és végpontban jobbról, illetve balról folytonos; 2. f(x) az [a, b] intervallumot önmagára képezi le; 3. nincs olyan részintervalluma az adott szakasznak, amelyben f[x) = constans teljesül. Az /(x) függvényt iterációs alapfüggvénynek nevezzük az adott intervallumon. Az f

0(x) = A(x) = f{x), f

2(x) = f\f(x)], . . ., f

n(x) = ftfn-l(x)] • • • függvényeket az f(x) függvény 0-dik, első, második, . . . rc-edik (n-edrendű) . . . iterált 395