Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1974. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 12)

dik közvetlen gyakorlati érdek, és tapasztalati úton, empirikus általánosítások segítségével nem is oldhatók meg. A matematika belső fejlődéséből származó problémák megoldásához új módszert kell keresni. Ez pedig csak az absztrakció további mélyítésével érhető el. Ez a fokozódó absztrakció egyre több olyan új fogalom és új művelet bevezetését teszi szükségessé, amelyek egyáltalán nem szemléletesek. (Természetesen, fordítva is igaz, hogy az új fogalmak, új műveletek bevezetése felvet bizonyos problémákat. A két oldalt együtt kell vizsgálni.) Így vagyunk képesek olyan matematikai problémákat is megoldani, amelyek a józan ész számára nem szemléletesek, nem gyakorlati jellegűek, hanem a matematika fejlődésének belső összefüggéseiből adódnak. Ezt természetesen csak úgy tehetjük, ha a dolgok belső lényegét megközelítő absztrakciók híven tükrözik az objektív valóságot, sokkal hívebben, mintha pusztán érzékszerveink által érzékelhető szemléletes fogalmakkal dolgoznánk. A matematika számos területe az érzékelés, a tapasztalás számára teljesen hozzáférhetetlen, rendkívül absztrakt dolgokkal foglalkozik. Az itt jelentkező problémák megoldása minőségileg magasabb szintű matematikai tevékenységet igényel, mint amire az empirikus matematika képes. Ez a deduktív matematika elvontabb és általánosabb jellegében található meg. A matematikának éppen ez az elvont és általános jellege adja meg a matematika ismeretelméleti jelentőségét, de egyben gyakorlati jelentőségét is. De amíg eddig a matematika eljutott, számos nehézséget kellett leküzdeni. A fejlődéssel praktikus okok miatt először az empirikus matematika felhalmozott tudásanyagának rendszerezése válik szükségesssé. Ez a rendszerezés persze, már támaszkodott az összeg, a vonal, a terület, a távolság stb. jól kidolgozott fogalmaira. Ezek a rendszerezések megkönnyítették a tájékozódást az ismeretek rendszerében, gyakorlati és tudományos vonatkozásban egyaránt. Az ismeretanyagnak, vagy akár egy részének többé-kevésbé szerencsés rendszerezése is már kidomborította a matematika két jellegzetes vonását, és így az empirikus matematikában két hatékony eljárást ismertek fel: a visszavezetést és a következtetést. Az egyik eljárásnál a cél: bonyolult problémákat olyan egyszerű problémákra visszavezetni, amelyeknek a megoldása már ismert. Ezek után már csak azt kellett eldönteni, hogy melyek az egész matematika felépítésekor kiindulásul szolgáló alapfogalmak, tények stb. A másik eljárás lényege: következtetni ismert tapasztalati adatokból, tapasztalati ellenőrzés nélkül más (még nem tapasztalt) tények fennállására. Ehhez már csak a következtetés általános szabályai kellenek. Mindezek a felismerések mellett és az empirikus matematika fejlődése olyan akadályokba ütközött, amelyeket a régi induktív módszerekkel nem lehetett leküzdeni. Erre utalnak olyan máig is megoldatlan problémák, mint pl. a tökéletes számok és a barátságos számok problémája stb. (3). Itt az empirikus matematika módszerei csődöt mondtak. A továbblépésre két alterníva kínálkozott: vagy figyelmen kívül hagyják a matematika által támasztott belső igényeket, és megállnak azon a ponton, ahová a matematika eljutott, vagy fordulat következik be a matematika fejlődésében. 29