Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1973. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 11)

III. Tanulmányok a Természettudományok köréböl - Járosi András: Számok n-edik gyökének fogalmáról

alakban, ahol ]fr az a komplex szám r abszolút értékének n-edik főgyöke, k tetszőleges egész szám, és a k = 0, 1,2,..., n—1 értékek mellett előállnak az a szám összes páronként különböző n-edik gyökei. Legyen az (5) azonosságokban a = r (cos a -f- i. sin a) b — s (cos ß -f- i. sin ß) Az (a) azonosság bizonyítása: i n) Ha xÖldb, akkor a (3) definíció alapján x

n — ab = rs [cos (a -j- ß) + i. sin (a ß)]. Ezért x a következő alakban írható: a + fi+2kn . . . a + ß + 2 kn\ x = rs cos ——-—' h i- sin — , V n n J ahol k valamilyen egész számot jelent. Bevezetve a nyilvánvalóan lehetséges k = k\ -f~ ko (ki és k-2 egész számok) felbontást, x abszolút értékét, ill. argumentumát a következő alakban írhatjuk: n n n | x | = |fr; = ]/r • j/s illetve a + ß+2 kn a + 2 k*7t fi + 2 k

2n arg x = - = 1n n n 'n) (n) Ezért x(L ][a • [ b , következésképpen (n) (n) (n) (7) föftcfa-fö (n) (n) Másrészt, ha zd)Ja - \ b , akkor a (4) definíció jelölését alkalmazva z

n = (xy)

n = x

n y

n = ab (n) folytán zd Yab, s ezért (n) (n) (n) (8) i a - |íb c | ab A (7) és (8) relációkból következik az (a) azonosság érvényessége. A (b) azonosság bizonyítása az (a) bizonyításához hasonlóan végezhető, csak szorzás helyett osztást, az argumentumok összeadása helyett 282-