Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1973. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 11)

III. Tanulmányok a Természettudományok köréböl - Járosi András: Számok n-edik gyökének fogalmáról

Az I. és II. definíció által végrehajtott gyökfogalom-módosítást a fogalom tartalmának és formájának vonatkozásában a következőképpen értékelhetjük: A formában (jelölésben) meglevő ellentmondást mindkét definíció olyan módon szüntette meg, hogy az ellentmondásos forma (jelölés) hibájának kiküszöbölése helyett a fogalom tartalmát módosította. A helyes tartalmat vetette el az ellentmondásos jelölés helyett. Az történt ugyanis, hogy a valós számok halmazában mindkét definíció tartalmilag új fogalmat vezetett be, a régi fogalom alakjában, a régi fogalom nevével és jelével ellátva. Ezzel a valós számok halmazában megszűnt a régi gyökfogalom. Azonban a komplex számok halmazában változatlan maradt az n-edik gyök fogalma tartalmában és formájában is, hiszen a módosítások a komplex számok halmazát figyelmen kívül hagyták. Ennélfogva a valós számok régi n-edik gyökfogalma mégsem szűnt meg, következésképpen létezik is meg nem is. Az új definíciók tehát megszüntettek egy ellentmondást a valós számok halmazában, s ugyanakkor létrehoztak egy újabb ellentmondást a komplex számok halmazában, s most már nem formai, hanem tartalmi ellentmondást. Lássuk ezt két egyszerű példán: 1. A 25 nyilvánvalóan valós szám is és komplex szám is. Ha csak valós számnak tekintjük, akkor egyetlen négyzetgyöke van: -f-5. Ha komplex számnak tekintjük, akkor két négyzetgyöke van, 4-5 és —5, és mindkettő valós. Kérdés: mit tekintsünk a 25 valós komplex szám négyzetgyökének? 2. A —8-nak mint valós számnak nincs valós köbgyöke a II. deníció szerint. A —8^nak mint komplex számnak van valós köbgyöke. A —8-nak mint valós komplex számnak van-e valós köbgyöke? Az ellentmondás nyilvánvaló. Az okát röviden úgy fejezhetjük ki, hogy a fogalomalkotásban nem érvényesül a Hankel-féle permanenciaelv, amelyet első megfogalmazásában így találunk az irodalomban

9: „Die rein formale Mathematik . . . besteht . . . nicht in einer Verallgemeinerung der gewöhnlichen Arithmetik; sie ist eine durchaus neue Wissenschaft, deren Regeln durch letzere nicht bewiesen, sondern exemplifiz i r t werden, indem die formalen Operationen, auf actuelle Zahlen angewandt, dieselben Resultate geben, als die anschaulichen Operationen der gemeinen Arithmetik." (12. o.) Az azonosságokra vonatkozóan pedig ezt mondja: „...das Prinzip der Permanenz der formalen Gesetze... besteht darin: Wenn zwei in allgemeinen Zeichen der Arithmetica universalis ausgedrückte Formen einander gleich sind, so sollen sie auch gleich bleiben, wenn die Zeichen aufhören einfache Grössen zu bezeichnen, und daher auch die Operationen einen irgend Welchen anderen Inhalt bekommen." (11. o.) Az elmondottakból nyilvánvalóan következik, hogy a valós számok halmazában bevezetett új egyértelmű gyökfogalom egyik változata sem fogadható el mindaddig, amíg a kimutatott ellentmondásokhoz vezetnek. Szükség van tehát a gyökfogalom további kimunkálásra. 278-