Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1973. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 11)

III. Tanulmányok a Természettudományok köréböl - Járosi András: Számok n-edik gyökének fogalmáról

A teljes n-edik gyök fogalma Abból indulunk ki, hogy a történetileg kialakult eredeti gyckfogalom tartalmilag helyes és félreérthetetlen volt, tehát a tartalmát nem szabad elvetni, hanem bele kell építeni az új gyökfogalomba. Módosítani kell viszont ellentmondásos formáját. A megváltozott formához természetesen új módon kapcsolódik a régi tartalom, s így a fogalom is megváltozik a forma módosításakor. Az új, ellentmondásmentes gyökfogalom kialakításához és definiálásához az alapgondolatot az adta, hogy a gyökvonás (2) azonosságainak többértelmű gyök esetében is van értelmük, ha az azonosságokat a lehetséges gyökök halmazaira vonatkoztatjuk. Ugyanis azt találjuk, s később be is bizonyítjuk, hogy adott a és b számokra a (2) azonosságok mindegyikében a bal- és jobboldali kifejezések lehetséges számértékeit kiszámítva a bal oldalon kapott páronként különböző számok halmaza egyenlő a jobb oldalon kapott páronként különböző számok halmazával mind valós, mind komplex számokra. Pl. a \ a b = ]/ a • ]/ b azonosságban legyen a — 4 és b = 25, akkor a baloldali gyök lehetséges számértékei 10 és —10, és ugyanezek lesznek a jobboldali kifejezés lehetséges, páronként különböző számértékei is. Önként kínálkozik az a gondolat, hogy célszerű lenne a szám n-edik gyökének új fogalmaként az (1) egyenlet lehetséges, páronként különböző megoldásainak a halmazát tekinteni. Ennek alapján vezetjük be a következő definíciót: Az x

n = a egyenlet összes (páronként különböző) megoldásainak a halmazát az a (n) " szám teljes n-edik gyökének nevezzük és } a-val jelöljük. Más szavakkal tehát: <

n

)_ Egy a szám teljes n-edik gyökén értjük és ]'a-val jelöljük azoknak a páronként különböző komplex számoknak a halmazát, amelyeknek n-edik hatványa a: (ii) dcf (3) Ya {z ' — a; n természetes szám} Az n természetes számot gyökkitevőnek, az a számot gyök alatti számnak, a halmaz x elemeit pedig az a szám n-edik gyökeinek nevezzük. (Az nedik gyökök egyenkénti jelölésére nem definiálunk külön jeleket, ezeket esetenként tetszés szerint jelöljük, ha erre szükség van.) Bevezetjük továbbá a következő fogalmat: Az a szám teljes n-edik gyökének azt az elemét (tehát az a számnak azt az n-edik gyökét), amely valós és am.elynek előjele megegyezik az a n szám előjelével, az a szám n-edik főgyökének nevezzük. A jele: ]fa. 279-