Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1972. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 10)

34. koroll. Egy vektornak valamely síkra esése tranzitív tulajdonság. Vagyis ha az OA-tól eltérő irányú OD is és OF is az egymástól eltérő irányú OA és OB vektor síkjára esik, akkor egyszersmind OF az OA és az OD síkjára esik. Valóban, a feltevés miatt: ÖD — ű

D • ÖÄ" + b

D • ÖB , és OF = a

F • ÖÄ + b

F • OB , ahol a kikötésünk értelmében jzé 0. Fejezzük ki az első egyenletből OB-t: OB = 1 • OD — - ÖÄ , és helyettesítsük a másodikba: OF — a

F • OA + — • ÖD —. "ÖÄ — (a

F - -OÄ + ^-ÖD, ami éppen állításunkat igazolja. 26. def. Az OA, OB, OC vektorhármast lineárisan függetlennek akkor mondjuk, ha az a • OA b - OB c • OC vaktori összeg csaikis akkor zérus, ha a = b = c = 0. 35. koroll. A VIII. ax.-ban említett OA és OB vektorok, amelyek egymástól eltérő irányúak, és az ezekre merőleges OD vektor lineárisan független vektorhármast alkotnak. Ez állítás bizonyítására megmutatjuk, hogy tagadása ellentmondás (hamis). Tegyük fel tehát, hogy nem az állítás, hanem annak ellenkezője igaz, vagyis van oly a, b, d szám, amely közül legalább az egyik nem zérus, és amelyre mégis a . OÄ + b • OB + d • OD = 0. (a) Először megmutatjuk, hogy az egyenlet fennállása esetén a három szám közül a d semmi esetre sem lehet véges. Szorozzuk ugyanis ezt az egyenletet OD-vel, ekkor a merőlegesség kikötése miatt d . |OD|

2 = 0 egyenlethez jutunk, ahol |OD|

2=)=0, tehát ahonnan valóban d = 0 adódik. Ezért (a) okvetlenül az a . OA + b . ÖB — 0 egyenletre egyszerűsödik. Ez azonban sem a4=0, b = 0 (I), sem az a = 0, b =j= 0 (II), sem pedig az a 4= 0, b 0 (III) esettel nem fér meg. Ugyanis belőle az I esetben b = 0 mellett mégis az a = 0, a II-ban 294