Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1972. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 10)

32. koroll. Ha az (a)-egyenes G-pomtja átellenes pontja a párhuzamos (/5)-egyenes P-pontjának, akikor fordítva P is átellenes pontja Gnnek. E tétel belátására ki kell mutatnunk, hogy a 19. ábra jelöléseivel PG • PF = 0. Valóban a kiindulási feltevés miatt GO . GP = 0, tehát (15. koroll.) |GP[

2 = |"ÖP[

2 — [GO|

2, ahol a 18. koroll. értelmében OG = y . OE, vagyis |ÖG|- = y

2 [OE]

2 és itt y=ÖE .ŐP/|OE|

2. (a) Ezért egyik előbbi egyenletünk miatt: |GP|2 = |OP|

2 — y

2 • |OE|

2, (b) másrészt a 28. koroll.-t alkalmazva a K~y és OE = a, OF = ÓÉ + OP = b esetre: y (OE. OF) = (yÖE) . OF = OG . OF. (c) Itt a jobboldal a 15. def miatt OG . OF = —(|ÖG|

2 + JOFj

2 — |GF|

2), ahonnan |GF|

2 = = OCr ' -}- j ÖF |

2 — 2 • ÖG . ÖF. A (c) baloldalának felhasználásával pedig: GF|

2 = jÖGj

2 + jÖFj

2 — 2y • (ÖE • ÖF) és ebből (a) alapján |GF|2 = |ÖP|2 + !

0Éj

2 (1 -r). (d) Minthogy a 32. koroll. miatt |PFj — |OE|, ezért (a) alapján PF 2 + |PG|

2 = |OE|

2 + OP,

2 - y

2 jOEj

2 = [OE|

2 (1 - f) + |OP,

2 , ami (d)-vel egyezik, vagyis a 15. kor. megfordítása alapján PG . PF = 0. Ezt akartuk bizonyítani. 33. koroll. Ugyanazon párhuzamos egyenespáron tetszőlegesen felvett két átellenes pontpár távolságértéke megegyezik. 24. def. Két párhuzamos egyenes távolságán („közén") két átellenes pontjának távolságát értjüik. 25. def. Az OD vektor akkor esik az egymástól eltérő irányú OA és OB vektor síkjára (20. ábra), ha találunk oly a és b reális számot, amellyel OD a következő alakban adható meg: OD = a • OA b • OB. 293