Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1970. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 8)

és mivel (u) +0, ezért (14) és (17) egybevetéséből kapjuk, hogy R-U

ü-v)=—(18) Végül könnyen igazolható teljes indukcióval, hogy (14) tetszőleges n természetes számra is igaz. i = 1 i — 1 5. TÉTEL: Az R~

x inverz leképzés létezésének szükséges és elégséges feltétele, hogy az R(u) = 0 egyenletnek, csak az u(x) = l megoldása legyen. BIZONYÍTÁS: Tegyük fel, hogy Rlétezik és R[u

o(x)] = 0. Bebizonyítjuk, hogy u

0(x) = l. Nyilván Un^R1 R(u

o) = R~

1(0) és így (18) és (16) miatt u

n (x) = R~

1 (u—u) = l . A bizonyítás másik részében tegyük fel, hogy az R(u) — 0 egyenletnek csak az u(x)=l megoldása van. Az R~* inverz leképzés létezéséhez elegendő bizonyítani, hogy R(u) a P* különböző elemeihez, különböző elemeket rendel F (a, bj-ben. Legyen u\ u-i, ahol m , u

2 6 P* . Tegyük fel, hogy R nem rendel különböző elemeket Ui és u-2-höz, tehát R (UI) = R (U

2) , vagyis ami azt jelenti, hogy az u—A-=h\ is megoldása az R (u) = 0 egyenletU2 nek, ami ellentmondásban van az elfogadott feltételünkkel. Tehát az R~

l leképzés létezik. MEGJEGYZÉS: Az L (u) = ln u (x) , u € P* leképzésnek létezik az inverze, mivel az In u (x) = 0 egyenletnek, csak az u (x) = 1 megoldása van. Az L leképzés inverze. L~

1(v) = e

v,v € F(a,b), ahol (20) D(u) , L(u)=v = lnu. De pl. az Li(u) = (ahol u =h 0 és differenciála ható függvény) leképzésnek nem létezik az inverze, mivel az L<±(u) = Q egyenletnek valamennyi u (x) = constans megoldása lesz. 424