Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1970. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 8)

3. TÉTEL. Az R leképzés még — az R definíciója alapján könynyen igazolható — alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: — R (u)—R (v), ha u, v e P*, (11) X= —1 esetén nyerjük, hogy R(u1) = — R(u) , ha u € P*, és így (10) a v ahonnan u~v esetén nyerjük, hogy R(1) = 0 (12) és végül teljes indukcióval igazolható, hogy RÍ n üf] = j?R(Ui), Mi eP* és i = l, 2, (13) li = l J i= 1 Könnyen belátható, hogy ha R-nek létezik az inverz leképzése, akkor az az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: R~

1(u + v) = R1 (u) • R1 (v), (14) R-i (lu)=[R~

1 (u)]* , (15) ahol u,v £ F(a,b) és X tetszőleges valós szám. Nyilvánvaló, hogy R~

1(u) = 0 triviális megoldása az R"

1 leképzésnek. A nem triviális megoldás azonban egyetlenegy u (x) függvényhez sem rendeli a nulla függvényt, mert ha 1 ("v) = 0 lenne, akkor bármely u v függvényhez is az azonosan nulla függvényt rendelné, mivel akkor R1 (u) = Rí [(u—vj + vJ^R1 (u—v) - R~

l (v) = 0 lenne a feltevéssel ellentétben. 4. TÉTEL: R~

1 pozitív leképzés, vagyis minden u € F(a,b)-re R1 (u)> 0, ha létezik. 2 BIZONYÍTÁS: Rr

1 (u) = R>0Az Rinverz leképzés még az alábbi könnyen igazolható tulajdonságokkal is rendelkezik. Mivel R"

1(u) = R~

1(u + 0) = R1(u) - R-UO) és R~* (u) ~h 0, ezért fíJ(0) = 1, (16) vagyis a leképzés az azonosan nulla függvényhez az azonosan 1 függvényt rendeli. Továbbá A — —l-re (15)-ből nyerjük, hogy R1(~u) = . (17) R-^u) 423