Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1970. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 8)

BIZONYÍTÁS: Mivel L

T és L

2 megoldásai R-nek, ezért L (u v)—a L

l (U v) + ß L

2 (U V)=L (U) + L (V) és L [a L

t (u) + ß L

2 (U)]=X L (U) , vagyis L (u)~ra is teljesül a (2, 3) feltétel. MEGJEGYZÉS. Nyilván igaz az alábbi általánosabb tétel is. Ha Li (u), i = 1, 2, . . ., n különböző megoldásai .R-nek, akkor ezen megoldások linearis kombinációja is megoldása R-nek, vagyis L(u) = 2«i Li(

ü)i = l 2. TÉTEL. Az R leképzésre, illetve megoldására alkalmazva bármilyen A lineáris leképzést, újra R leképzést kapunk. BIZONYÍTÁS. Az A lineáris leképzés A(u + v) = A(u) + A (v) A (Xu) = X A (u), ahol u, v £ F (a, b) és l tetszőleges valós szám, tulajdonsága miatt A [R (u v)] — A [R (u)] + A[R (v)] és A [R (u

?-j] — A A [R (u)] , vagyis röviden az L(u) = AR(u) (6) szorzatleképzés ugyancsak megoldása az R leképzésnek. Ezáltal az R leképzés újabb megoldásait kaphatjuk. Az R leképzésnek megfelelő Cauchy típusú függvényegyenletből például közvetlenül adódik R egy megoldása L (u) = ln u u € P*. (7) Mivel In u(x) megoldása R-nek, így a lineáris leképzés miatt In u (x) differenciálhányadosa is megoldása R-nek. ha létezik. Vagyis (6) miatt L

1 (u)=D (In u) = > (8) ugyancsak megoldása R-nek, amit logaritmikus deriválás néven szoktunk emlegetni. Hasonlóan adódik, hogy pl. X L

2(u)=\ln u(s)ds, (u(x)>o folytonos függvény) (9) í ugyancsak megoldása R-nek. 422