Az Egri Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1969. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis ; : Nova series ; Tom. 7.)
Ugyancsak kimutattuk, hogy a metszéspontok e feltételek mellett reciprocitással is szerkeszthetők, ahol főpontnak a közös fókuszt kell választani. b) Vizsgáljuk a következőkben, hogy ha az Xi és x t koordináták között az XÍ = XÍ + bi, i = 2 (22) lineáris transzformáció létesít kapcsolatot, szerkeszthetők-e a kúpszeletek metszéspontjai. E feltételek mellett (6) alakja: (e íx í + P l) 2 + 2x 1b 1 + 2 b 2 Y(e í x t + P lf - xl + {b\ + b\) = = [e 2 ( X í + b 2) + p 2] 2. (23) I. Ha a (23)-as egyenletben b 2=0, akkor a két kúpszelet metszéspontjai meg szerkeszthetők. Bizonyítás: Helyettesítsük be b 2 értékét az egyenletbe. Akkor ez a következő alakú lesz: (e ± + p,) 2 + 2x t b^ + bl^ [e 2x í + p,] 2 (24) Négyzetreemelés és rendezés után: oo\ (e\-el) + X í(2 e íP l + 2 b, - 2 e 2 P i) + p\ + b\ -p\ = 0 Vezessük be a következő jelöléseket: M = e\ — el N =2e 1p í + 2b 1 — 2e 2p 2 (25) L =pl + bl — pl Ezek felhasználásával az egyenlet: Mxl + N X í + L = 0 (26) Ebből a metszéspontok abcisszái meghatározhatók. Az ordinátákat pedig az x\ = (e x x x + pj) 2 — xl egyenlet szolgáltatja. (27) Mivel M, N, L (25) alapján szerkeszthető, így (26) és (27) gyökei szerkeszthetők. Ezzel állításunkat igazoltuk. Mivel mindkét kúpszeletnek az x í tengely szimmetria tengelye, a metszéspontok szimmetrikusak ^-re. Tehát ha van metszéspont, azok száma 4 vagy 2. Összefoglalva: Ha adva vannak az x\ + x\ = (e 1 x 1 + P í) 2 x\ + xl = (e 2 x t + p 2) 2 (28) 290
