Az Egri Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1969. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis ; : Nova series ; Tom. 7.)

kúpszeletek és a koordináták között az — lineáris transzformációs kapcsolat van, a kúpszeletek metszéspontjai megszerkeszthetők. A feltételek szerint tehát mindazon kúpszeletek metszéspontjai, amelyeknek nagytengely-, főtengely-, valóstengely-egyenesei egybeesnek, meg szerkeszthetők. Speciális eset: Ha ^=^=0, akkor a két kúpszelet között az %Í = XÍ identikus transzformáció létesít kapcsolatot. A metszéspontok abcisszáit az Mx\ -f- Nx

1 + L = 0 egyenletből számíthatjuk ki, ahol M = eí — e\ N = 2 e

1 pj — 2 e

2 p

2 L == pl—Pl Az ordináták pedig az x\ = (ß

x x

1 + p^

2 — x\ egyenletből adódnak. E speciális esetben a kúpszeletek egyik fókusza közös, a metszéspontok reciprocitással is szerkeszthetők. 1. megjegyzés: A (28)-ban szereplő és k.

2 kúpszeletek közös polárbáromszögének egyik oldala a közös tengely, a vele szemben levő csúcspontja az x

1 tengelyre merőleges egyenes végtelen távoli pontja. Ezek ismeretében a metszéspontok a következőkép is megszerkeszthetők: a) A sík tetszőleges P

1 és P

2 pontjához megkeressük a k

t és k

2 kúpszeletekhez közös kapcsolt pólusokat, Q

1 és Q

2-1. b) P

t, Q,;P

2, Q

2-bői merőlegeseket húzunk az xi tengelyre, és ezen involuciós sugársor kettős sugarait megszerkesztjük. Ezeken lesznek rajta a metszéspontok. c) Megszerkesztjük az egyeneseknek (kettőssugarak) és az egyik kúpszeletnek a metszéspontjait [2]. 2. megjegyzés: Alkalmazzunk az általános eset kúpszeleteire egy reciprocitást, amikor a főpont az egyik kúpszelet fókusza. A két kúpszelet képe kör és kúpszelet lesz, ahol a kör középpontja a tengelyekre illeszkedik. Ezek közös érintőinek visszaállítottjai lesznek a metszéspontok. A kép-kúpszelet ellipszis akkor, ha a főpontra egy érintője sem illeszkedik a transzformálandó kúpszeletnek, parabola, ha a főpont illeszkedik a kúpszeletre és hiperbola, ha a főpontra két érintő illeszkedik az eredeti kúpszeletnél. Ha a reciprocitással két kúpszelet metszéspontjainak meghatározását kör és ellipszis közös érintőinek megszerkesztésére sikerült visszavezetni, a feladat térmértani meggondolással megoldható [3]. Ha kör és parabola közös érintőinek meghatározására vezettük vissza a feladatot, ugyancsak térmértani meggondolással szintén megoldhatjuk [4]. 19* 291