Az Egri Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1968. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis ; : Nova series ; Tom. 6.)

Ennek felhasználásával a következőt kapjuk: x\ + x\ + 2 x,(rt

n b

y + a2

1 b

2) + 2 x

2(ö

1

2 b

t + a

2

2 b

2) + (b[ + b\) = [e

2(a

n x

x + a

1

2 :r

2 + ft

2) + pj-. (5) Fejezzük ki (l)-ből a:Ő-t, xl = (e

l x

1 - Py)

2 - x\, (1*) és írjuk (5)-be. Rendezés után (f, x

x -f p

x)- + 2 x

x{a

u b

x + a

2

í b

2) + 2 j/x

t + py)

2 - xl(a

1

2 b

t + a

2

2 b

2) + + (bl + b\) = [e

2(a

u .t

1 + a

1

2 ]f (e

í x

t + p

t)

2 - xl + b

z) + p

2]'

2. (6> Ennek az egyenletnek gyökei lesznek a két kúpszelet metszéspontjainak abszcisszái [3]. A kúpszeletek metszéspontjai és a (6) egyenlet valós gyökei között egyértelmű megfelelés van. Valós metszéspont abszcisszája az egyenlet valós gyöke és fordítva. Ha a (6)-as egyenlet gyökei szerkeszthetők, akkor az két egyenlő fokú tényező szorzatára bomlik [4]. Milyen feltételek mellett bontható a (6)-os egyenlet két egyenlő fokú tényezők szorzatára? Ha pl. a következő összefüggések érvényesek: a

n by -f a

2

1 b= 0 a

í

2 b

t + a

2

2 b

2 = 0 (7) + bl = 0 akkor a (6)-os egyenlet két egyenlő fokú tényezők szorzatára bontható. Ezek bi = b

2 = 0 (8) feltételek mellett teljesülnek, vagyis, ha a (6)-os egyenlet alakja: (Cy Xy + p,)

2 [c

2(fl

n Xy + a

í

2 V(ey + Py)

2 - xl) + p

2]

2 = 0 (9) Ha viszont a két kúpszelet egyik fókusza közös, akkor ezt a közös fókuszt választva a fokális egyenletek felírásakor, (8) teljesül. Érvényes tehát, a következő tétel: Két kúpszelet metszéspontjai meg szerkeszthetők, ha egyik fókuszuk közös. a) Kimutattuk tehát, hogy ha két kúpszelet egyik fókusza közös, akkor metszéspontjai megszerkeszthetők. A (3) lineáris transzformáció ekkor a következő alakú lesz: 2 ti = Qik X

k • (

1

0) k = i 282-