Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1997. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 24)
FEHÉR Z.: Két kombinatorikai identitás általánosítása
64 Fehér Zoltán 1. Tétel. Legyen n természetes szám. Akkor minden 1 < i < n természetes számra érvényes (3) É M "519 < ti, (*ii)/ 2 = [ • 1 na+i j~ i)k= i L J L J L J j= 1 Bizonyítás. A definíció segítségével könnyen belátható, hogy Ebből adódik, hogy n k n n — i k i i k-i E k—i n ~k' k i (k-i)(k-i-1)/2 _ = E k=i E j=0 n — i k — i n — i 3 <k-i)(k-i-1)/2 Mivel + i(n-l)/2 n (lásd [1], 36. old.), akkor £ = 1 választással kapjuk a (3) egyenlőséget. A 2. tétel bizonyításához felhasználjuk a következő segédtételt. Lemma. Legyen k nemnegatív egész szám és x valós szám. Legyen _ I (x - l)(z - q) • • • (x - q k~ l), ha k > 1, ha k = 0. »Akkor (4) = Ét1)'" {=0 q(k-i)(k-i-l)/2 xi Bizonyítás. Legyen P k(x) = 4- Pk,+ •••+• Pk,k% k és határozzuk meg a p k >i (i = 0,1,..., k) együtthatókat. Felhasználjuk az (* - q k~ l)P k{qx) = (q kx - q k~ l)P k(x) k-1
