Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1997. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 24)

FEHÉR Z.: Két kombinatorikai identitás általánosítása

Két kombinatorikai identitás általánosítása 65 egyenlőséget. Tehát {x - q

k~

1){Pk,o + Pk,iqx + • • • + Pk,kq

kx

k) = = (q

kx - q

k~

1 )(pk,o + Pk,\x + • • • + Pk,kX

k). Innen i — 1,2,... ,k esetben kapjuk q

{ 1p

kt

i.

1-q

k+i 1pk,i — q

kpk,i-i — q

k lPk,i, vagyis .k — i+1 2 Pk,i Ezzel a rekurziós formulával valamennyi együttható meghatározható az abszolút tagból kiindulva. Az abszolút tagot a polinom felírásából kapjuk meg. Tehát Pk, o = (-1) V

(*1)/2 és minden i = 1,2,..., k — 2 számra fc-i+l * r , - 1 k 1 } % - 1 PM = Továbbá = 1 és = 1 . Ezzel a (4) egyenlőséget igazoltuk. 2. Tétel. Legyen n tetszőleges természetes szám és i olyan egész szám, hogy 0 < i < n. Akkor (5) D-d k-i k=i n k k i {

k-i){k~i-l)/2 _ Q Bizonyítás. Jelöljük (5) bal oldalán álló összeget a

n

);-vel, akkor >.< = D-i) k=i n = D-D fc-i fc — i k—i n i n k n i (k-i)(k-i-1)/2 _ TI — l k — i (k-i)(k-i-l)/2 _ j=o n — i j