Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1997. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 24)

FEHÉR Z.: Két kombinatorikai identitás általánosítása

Két kombinatorikai identitás általánosítása FEHÉR ZOLTÁN Abstract. (A generalization of two combinatorial identities) In this paper we formulate and prove two combinatorial identities for Gauss' binomial coefficients which are generalized forms of known combinatorial identities. Legyen n természetes szám és i = 0,1,..., n — 1, akkor érvényesek az SGXi)'=(">"'• (2) D-D k — i k—i = 0 egyenlőségek (lásd [2], 6. old., lásd [3]). Ez a cikk az (1) és (2) identitások általánosítását tartalmazza a Gaussféle binomiális együtthatók felhasználásával. Gauss-féle binomiális együtthatónak (lásd. [1], 35. old.) nevezzük az (q

n - 1 ){q

n~

l —!)••• (q

n~

k+

l - 1) (q -1)(?

2 - 1) • • • (<?* - 1) kifejezést, ahol néska0<k<n feltételt kielégítő egész számok. A q olyan valós szám, melyre q

a — 1 / 0 (a = 1,2,...,&). Továbbá = 1 es = 0, ha nem teljesül a 0 < k < n egyenlőtlenség. A Gauss-féle binomiális együtthatókra teljesül, hogy ha q —• 1, akkor A következő két tétel általánosítja az (1) és (2)-t, mert ha q —> 1, akkor a tételben szereplő állítások megegyeznek a Newton-féle binomiális együtthatóra fent megadott két kombinatorikai identitással.