Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1995-1996. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 23)

SZEPESSY B.: A taszító fixpontokról

A taszító fixpontokról 57 pontok is páronként különböző n-edrendű fixpontok; ahol /(c

n_i) = c

n — c. Feltehető, hogy c a legkisebb abszcisszájú fixpont ebben a sorozatban, azaz c < ci,c2,... c

n_i {c\, C2,... c

n_i fixpontok sorrendje nem feltétlenül nagyság szerinti). A c < c

n_ 1 egyenlőtlenségből /(x) monoton növekedése miatt /(c) < < f(c

n-1) következik. De /(c) = c\ és /(c

n_i) = c, ezért ci < c azzal ellentétben, hogy c a legkisebb abszcisszájú fixpont a sorozatban. Nem lehet tehát n > 2. A [c, d] szakaszban mindig van legalább egy elsőrendű fixpont. Az egész szakaszon ugyanis f(x) — x > 0 (f(x) — £ < 0) nem teljesülhet, mert f(x)— —x > 0(/(rc) — x < 0) esetén f(x) nem képezi le a [c,d] szakaszt önmagára vagy önmagába. A [c,d] szakaszban akár végtelen sok elsőrendű fixpont is lehet. Ebben az esetben ezek torlódási pontjai is elsőrendű fixpontok. Ha ugyanis A\, A

2,..., Á

n,. .. elsőrendű fixpontok [c, cfj-ben és torlódási pontjuk A, akkor A = hm A

U

t és f(A

n

i) = A

n

i, így A = Hm A

U

x = n—+oo n—+oo = hm f(A

n

i) = f( hm A

n

>) = f(A), n—KX) n—* oo ezért A is elsőrendű fixpont. Az is előfordulhat, hogy a [c,d] szakasz csupa elsőrendű taszító fixpontból áll. Ilyenkor f(x) = x az egész [c, d] intervallumon. Tehát az [a, b] intervallumon az elsőrendű taszító fixpontok szakaszt alkothatnak. Tétel. Ha valamely [c, d], (c < d

: c, d E [a, 6]) szakaszt a benne monoton csökkenő iterációs alapfüggvény önmagára vagy önmagába képezi le, akkor ebben a szakaszban csak első és másodrendű fixpontok vannak. Bizonyítás. Mivel a [c, d] szakaszban monoton csökkenő függvényre /(

c) ^ f(

x) ^ f(d) egyenlőtlenségek teljesülnek és így f(x) — x és c helyen pozitív a d helyen negatív értékű, s így f(x) folytonossága által van egy megoldása az f(x) — x = 0 egyenletnek a [c,d] szakaszban, ezért a tétel bizonyítása visszavezethető az előbbi tétel bizonyítására. Monoton csökkenő függvény monoton csökkenő függvénye (iteráltja) ugyanis monoton növekvő, ezért /2(2) függvény a [c,d] szakaszt önmagára, vagy önmagába leképező monoton növekvő függvény. Erre mint alapfüggvényre alkalmazva az előbbi tételt adódik, hogy az /2(2) függvénynek csak elsőrendű fixpontjai vannak a [c, d] szakaszban, s ezek az egyetlen elsőrendű fixpont kivételével mind másodrendű fixpontjai az f(x) függvénynek.