Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1995-1996. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 23)
SZEPESSY B.: A taszító fixpontokról
58 Szepessy Bálint • 3 • Például az /(x) = — (x — 1) +1 iterációs alapfüggvényre a [0,2] szakaszban a tétel feltételei teljesülnek. Az x\ = 0 és x 2 = 2 pontok másodrendű fixpontok, ennél magasabb rendű fixpontok ebben a szakaszban nem lépnek fel. Csupa másodrendű taszító fixpontból álló szakaszok is felléphetnek. Például az f(x) = 1 — x alapfüggvény esetén a [0,1] intervallumban. Itt e = I pont kivételével a szakasz minden pontja másodrendű taszító fixpont. Az f(x) = j függvény az [a, (0 < a < 1) szakaszban szintén kielégíti a tétel feltételeit; a szakasz minden pontja az e = 1 elsőrendű fixpont kivételével másodrendű taszító fixpontok. Általánosabban; ha az y = /(x) görbe az y = x egyenesre vonatkozóan tükörképíveket tartalmaz, akkor ezek mindig másodrendű taszító fixpontból álló szakaszok. Könnyen belátható a következő: Tétel. Az [a,b] intervallum tetszőleges n számú páronként diszjunkt zárt szakaszához megadható (akár végtelen sok) olyan iterációs alapfüggvény, amelyre az adott zárt szakaszok pontjai mind n-edrendű taszító fixpontok. Bizonyítás. Legyen [a, 6] szakasznak Q] q\ ; Q2;..., g n-1 páronként diszjunkt zárt részintervallumai. Az f(x) iterációs alapfüggvényt az [a, 6] szakaszon értelmezzük úgy, hogy a QÍ-\ szakaszt a QÍ-re (i = 1,2,..., n— 1; QQ = Q) bijektív módon képezze le, továbbá ha d a g zárt szakasz egy tetszőleges pontja, akkor E QÍ-I (i = 1, 2,..., n — 1; d{ a d pont z-edik iteráltja) és (d n-1, f(d n_ 1) = d) az alapfüggvény pontja (Az x = cí n_i és az y = d egyenesek metszéspontja a(d n_i, f{d n-\) = d) pont). Nyilvánvaló, hogy végtelen sok ilyen iterációs alapfüggvény létezik, s hogy ezekre az adott részintervallumok pontjai mind n-edrendű taszító fixpontok. Például az szakaszt az [§,§] szakaszra, az utóbbit az szakaszra, ezt pedig [jj,l] zárt szakaszra bijektív módon képezi le a [0,1] szakaszon értelmezett 10 , 1 —x, ha 0 < x < 3 ' - - 4' 2 11 -(x + 1), ha - < x < -, 3 7,1 — x H—, ha - < x < 1 2 4' 2
