Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1995-1996. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 23)
SZEPESSY B.: A taszító fixpontokról
56 Szepessy Bálint A c elsőrendű fixpont vonzó, ha létezik olyan pozitív e valós szám, hogy bármely x £ (c — £, c + s) esetén x a c ponthoz tartozik. A c elsőrendű fixpont balról-vonzó, ha nem vonzó, de létezik olyan pozitív e valós szám, hogy minden x £ (c — £,c) esetén x a c ponthoz tartozik. Hasonlóképpen értelmezzük a jobbról-vonzó elsőrendű fixpontokat. Ezeket közös néven féligvonzó fixpontoknak nevezzük. Taszító egy elsőrendű fixpont, ha saját magán és megelőzőin (inverz-iteráltjain) kívül nincs más hozzátartozó pont. Az olyan elsőrendű fixpontokat, amelyek nem sorolhatók az előbbi csoportok egyikébe sem, vegyes fixpontoknak nevezzük [3]. A magasabb rendű fixpontok értelmezéséből következik, hogy az f(x) függvény r-edrendű fixpontja az f r(x) függvénynek az elsőrendű fixpontja, így f(x) függvény r-edrendű fixpontja vonzó, félig vonzó, taszító vagy vegyes aszerint, hogy az f(x) függvény c elsőrendű fixpontja mely típusba tartozik. Ekkor a ci,c2,...,c r = c páronként különböző r-edrendű fixpontok mind azonos típusúak. 2. A taszító fixpontokról A [8] azt a kérdést vizsgálta, hogy milyen iterációs alapfüggvények esetén vannak tetszőleges magasrendű fixpontok. Bebizonyítottuk a következő állítást: Legyen f(x) az [a, b] zárt intervallumon értelmezett iterációs alapfüggvény, legyen továbbá [c,d] részszakasza az [a, b] szakasznak. Ha van a [c,d] szakaszban két olyan diszjunkt részszakasz, amelyeket a függvény az egész [c,d] szakaszra képezi le, akkor az f(x) függvénynek van tetszőleges magasrendű fixpontja. A tétel feltételei mellett a [c,d] szakaszban vannak bármilyen (első, másod, .. .) rendű fixpontok. Ugyanilyen tulajdonsággal rendelkező szakaszok lépnek fel [a,6]-ben a [7]-ben bizonyított tétel szerint is. Felmerült a kérdés, hogy lehetnek-e — és milyen feltételek mellett — csupa azonos rendszámú fixpontokból álló szakaszok. Azt fogjuk vizsgálni, hogy az első és magasabb rendű taszító fixpontok alkothatnak-e szakaszt az [a, b] intervallumon. Először bebizonyítjuk a következő állítást. Tétel. Ha a [c, d] (c < d,c,d £ [a, b]) szakaszt a benne monoton növekvő iterációs alapfüggvény önmagára vagy önmagába képezi le, akkor a [c, d] szakaszban csak elsőrendű fixpontok vannak. Bizonyítás. Tegyük fel állításunkkal ellentétben, hogy van a [c, d] szakaszban n-edrendű fixpont [n > 2); legyen ez c. Ekkor c,ci,c 2, c 3,.. .c n_i
