Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1995-1996. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 23)
M. MLGNOTTE és PETHŐ A.: AZ an + bn = z3 diofantoszi egyenletről
50 Maurice Mignötte és Pethő Attila egészeinek gyűrűje R föideálgyűrű, amelyben 1, D 2 egészbázist alkot. A •d elem konjugáltjai — (ti és ti" — ( 2ti, ahol ( = eg y primitív harmadik egységgyök. Hasonlóképpen, a' és a" fogja jelölni az a E K elem a-tól különböző konjugáltjait. R-ben csak 1 és —1 az egységgyökök és R egy alapegysége rj = 1 + ti + ti 2. Ezek az adatok megtalálhatók például Delone és Faddeev [1] könyvében. Egyszerűen kiszámítható a (11) (a 11 által generált ideál) felbontása is R-ben. Ha V = 3 + 2ti + ti 2 és Q = 5 - + ti 2, akkor N(V) = 11 ,N(Q) = ll 2 és (VQ) = (11). Az (5) egyenletből következik, hogy (6) (x - r2 m)(x - cr2 m)(x - c 2r2 m) = (vQ) n. Tekintettel arra, hogy x páratlan és (6) teljesül, ezért R-ben igazak az alábbiak (x-ti r2 m,x 2+xti r2 m+ti 2 r2 2 m) = (x-ti r2 m,3xti r2 m) = (x-ti r 2 m,3) = (1). Mivel (V,Q) = 1, ezért (6)-ból következik, hogy vannak olyan u,v E Z, amelyekkel (7) X - ti r2 m = T) UV V vagy (8) x-ti r2 m=rj uQ v. Tekintve (7), illetve (8) konjugáljait és felhasználva a V'V" = Q valamint a Q'Q" = 11V azonosságokat arra a következtetésre jutunk, hogy { n (7)-ben n/2 (8)-ban. Elosztva (7)-et illetve (8)-at ugyanezen egyenletek megfelelő konjugáltjával kapjuk az (9 ) flVí-V= = 1 + jrnm \V') \P'J x-ti r( r2 m x-ti( r2™ illetve (10) [íVflV, =1 + r 2"
