Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1995-1996. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 23)
M. MLGNOTTE és PETHŐ A.: AZ an + bn = z3 diofantoszi egyenletről
Az a n + b n — Z dioíaiUoszi egyenletről 51 egyenleteket. Mivel (5) miatt x > >/ííll m, hacsak m > 1 és így \x - ti r( ) r2 r n\ > > V^H 77 1, ezért (11) •ß r - 1 x - ti r( r2 7 •d r2' < \/4 < 9' ha m > 2. A logaritmusfüggvény tulajdonságaiból következik, hogy ha az x valós szám olyan, hogy | x |< 1/3, akkor |log(l + < 1,16 Ezért (ll)-et felhasználva (9) illetve (10)-ből következik, hogy (12) illetve (13) |Ai IAo I = u log u log + ?;log + v log V_ V Q <5,5(Q' < 5,5 11 Tekintettel arra, hogy sem ^57, sem -ßr nem egység, ezért A^, A 2 í 0. Alkalmazható tehát reájuk a 3. Segédtétel. Az alsó becslés kiszámításához szükséges paraméterek a következők: D = 6, B v |, h < 3,32, h V_ V < 2,51, h Q Q' < 0,44. A 3. Segédtétel szerint tehát I A x |,| A 2 |>exp(-3-10 6(7,5 + logM) 2). Összehasonlítva ezt a becslést (12) illetve (13)-mal kapjuk, hogy < < 5 • 10 9, azaz így a legrosszabb esetben is m < 1,5 -10 1 0, azaz n < 4,5 10 1 0. Az (5) egyenlet helyességének közvetlen ellenőrzése a 0 < n < 4,5 • 10 10 intervallumban igen nagy teljesítményű számítástechnikai kapacitást igényel. Közvetett utat kell tehát keresnünk, amit a (12) illetve a (13) egyenlőtlenség biztosít. Ehhez a lánctörtek egy fontos tulajdonságára kell emlékeztetnünk. Legyen a valós, irracionális o; szám lánctört előállít ás a ot = [ao,a ua 2 l...,] és jelölje p n^q n az a n-dik (n > 0) közelítő törtjének számlálóját illetve nevezőjét. Ekkor teljesül az alábbi (lásd pl. Hua [5], Theorem 10.3.1.)
