Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1995-1996. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 23)

M. MLGNOTTE és PETHŐ A.: AZ an + bn = z3 diofantoszi egyenletről

Az (l

n -f b

n = Z

3 diofantoszi egyenletről 49 egyenletet. Gondolatmenetünk hasonló az előző esetben alkalmazotthoz. A (4) egyenletet modulo 7 vizsgálva azt találjuk, hogy n = 1 (mod 6), tehát ha (4) megoldható, úgy 13 | x. Legyen n = 6m + 1 és 3(3

6)

m + 10(10

6)

m EE lZx

m (mod 169), ahol 0 < x

m < 13. Az {a:

m}^_

0 sorozat első 14 tagját a 2. táblázatban adtuk meg. m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 7 0 6 12 5 11 4 10 3 9 2 8 1 7 2. táblázat Ebből látható, hogy 13 | x

m pontosan akkor, ha m = 2 (mod 13). Ezért 13

2 I /2(^0 pontosan akkor, ha n = 13 (mod 78). Ha n = 13 (mod 78), akkor /

2(n) = 25 (mod 79), azonban 25 nem harmadik hatványmaradék modulo 79, így (4) sem oldható meg. 3. A tétel bizonyítása Az 1. és 2. Lemma valamint az 1. és 2. Segédtétel következtében az a feladatunk maradt csak, hogy belássuk: a (5) 2

7

1 + ll

n = x

3 egyenletnek egyetlen megoldása van, mégpedig (n,x) = (2,5). Mielőtt a bizonyításra rátérnénk megjegyezzük, hogy az 1. és 2. lemmában alkalmazott módszerek (5)-re valószínűleg nem vagy legalábbis csak hosszas kísérletezés, ügyeskedés után alkalmazhatóak. Használhatóságuk korlátairól szinte kizárólag csak numerikus tapasztalataink vannak. Az alábbiakban ismertetendő eljárással ugyanakkor mindig meg lehet határozni (1) megoldásait. A módszer hátránya az, hogy komoly elméleti és számítástechnikai apparátus szükséges az alkalmazásához. Ezért konkrét esetben, különösen ha azt sejtjük, hogy a feladatnak nincs megoldása, először érdemes moduláris teszteket végrehajtani és csak azok sikertelensége után bevetni a Baker módszert. Az 1. Segédtételből tudjuk, hogy n nem osztható 3-mal, azaz n = — 3m + r, ahol r = 1 vagy 2. Legyen ti - y/2 és K = Q(V2). Akkor K