Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)

ZAY B.: A Fibonacci-szósorozatok egy általánosítása II

A Fibonacci-szósorozatok egy általánosítása II. 19 Abban a speciális esetben, amikor az fi(w) leképezések az (1) által meghatározottak, a karakterisztikus polinomról, illetve annak gyökeiről egy kicsit többet tudunk igazolni. 1. Tétel. Az Lj(H), D

m(H), L(H) és D(H) lineáris rekurzív sorozatok közös karakterisztikus polinomja minden j (1 < j < k)-re és m (1 < m < ,s)re (7) f

k(x) = x

k-(x + l)

k~\ továbbá Fk(x)-nek k különböző ß{ — a{

k~

l, 1 < i < k gyöke van, ahol Qt,. .., a*; az f(x) = x

k — x

k~

l — 1 polinom gyökei. H. R. Ferguson [1] majd később C. E. Hoggatt és K. Alladi [2] igazolták, hogy az f{x) — x

k—x

k~

l —1 polinom gyökei különbözőek, és létezik közöttük olyan a\, amely az összes többinél nagyobb abszolút értékű. Ismert a Descartes-féle előjelszabály: Valós együtthatós egyenletben a pozitív gyökök p szám (ha többszörös gyök van, akkor többszörösséggel számolva) legfeljebb annyi, mint az együtthatók sorozatában az előjelváltozások t száma, továbbá t — p mindig páros. Ezt f(x) = x

k — x

k~

l — l-re alkalmazva t = 1 és így p < t és t — p párossága miatt p = 1, azaz éppen 1 pozitív valós gyöke van. Ez pedig éppen ai, azaz (a fenntiek szerint létező) az összes többinél nagyobb abszolút értékű gyök. Hiszen ha ez az ai nem valós gyök lenne akkor f(ai) — 0, I a\ | = | öi I és a\ ct\ miatt a\ nem lenne az összes többinél nagyobb abszolút értékű. f(x) egyetlen pozitív valós x gyökére az [x — l)^^1 = 1 egyenlőségből adódóan x > 1 teljesül, viszont ha: x < 0 és (x — = 1 akkor | x |< 1, tehát a pozitív valós gyök a legnagyobb abszolút értékű. A Descartes-féle előjelszabályból adódik, hogy fk(x) — x

k — (x + l)

fc_

1nek is csak egyetlen pozitív valós gyöke van. Ez a ßi = ai

k~

l i — 1, 2,. .., k-ra összefüggés miatt csak ßi = a

k~

l lehet. Tehát minden i (2 < i < fc)-ra teljesül a (8) ßi >| ßi I egyenlőtlenség. Ennek segítségével be fogjuk bizonyítani a 2. Tételt, amely speciális V\, V2-, •. •, Vk szavakból képzett {P

rii

i(ï;)}^_

1 szósorozatokban az egyes szavak illetve betűk előfordulási arányát határozza meg. 2. Tétel. Jelölje ßi az fk{x) = x

k - (x + l)^1 pohnom pozitív valós gyökét, s az X = {xi, X2,..., x

s} betűhalmaz elemeinek számát és y egy rögzített, x < y < k természetes számot! Ha egy v = (vi, v

2,. .., ujt) vektorra , , , v _ Í0 (azaz Vi 0 üres szó), ha i < i < y, ^

9^ ~ { 1 (azaz Vi ^ 0), ha y < i < k,