Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)

J. P. JONES és Kiss P.: Teljes hatványok lineáris rekurzív sorozatokban

56 James P. Jones és Kiss Péter lineáris rekurzív sorozat csak véges számú teljes hatványt tartalmaz, és ezek effektive meghatározhatók. Más típusú problémákat vetett fel Ribenboim és McDaniel. Egy R sorozatban akkor mondjuk, hogy az R

m és R

n elemek azonos négyzetosztályban vannak, ha léteznek nem zérus x, y egész számok úgy, hogy R

mx

2 = R

ny

2 vagy, ami ezekkel ekvivalens, ha RmRn — ^ valamely t egész esetén. Egy négyzetosztályt triviálisnak nevezzük, ha csak egy elemet tartalmaz. Ribenboim [16] igazolta, hogy egy F

m Fibonacci-szám négyzetosztálya triviális, ha m / 1,2,3,6 vagy 12, továbbá az L{ 1,1,2,1) Lucas sorozat L

m elemének osztálya triviális, ha m / 0,1,3 vagy 6. Az általánosabb R(A,B, 0,1) sorozatra, ahol A és B relatív prímek, Ribenboim és McDaniel [17], valamint Ribenboim [18] bizonyították, hogy minden négyzetosztály elemeinek száma véges. A másodrendűnél magasabb rendű lineáris rekurzív sorozatokról kevesebbet tudunk. Legyen G = G(A\,..., Go,..., Gk-i) egy k-adrendű lineáris rekurzív sorozat, melyet a G

n = AiGn-i + ... + A

kG

nk (n>k- 1) rekurzió definiál a nem mind nulla rögzített A\,...,Ak és Gk-i egészekkel. Jelölje a = o;i, a

2,..., o;

s az x

k - A

rx

k~

l - ... - A

k = 0 egyenlet különböző gyökeit. Tegyük fel, hogy a,a2,...,a

s multiplicitása 1,7712,..., ms és jqíI > |o!iI ha i = 2,..., 5. Ekkor, mint ahogy jól ismert, a sorozat tagjai (1) G

n = da

n + r

2(n)a? + ... + r

s(n)< alakban adhatók meg, ahol T{ (Í = 2,..., S) egy rrii — 1 fokú polinom, melynek együtthatói és d a Q(a, a

2,..., a

s) algebrai számtest elemei. Néhány feltétel mellett Shorey és Stewart [21] bizonyították, hogy a G sorozat nem tartalmaz teljes ç-adik hatványt, ha q elég nagy. Ez az eredmény [6] és [22]-ből is következik néhány általánosabb tételből. A következőkben Ribenboim és McDaniel négyzetosztály ötletét általánosítjuk A;-adrendű sorozatokra és q hatvány osztályokra.