Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)
J. P. JONES és Kiss P.: Teljes hatványok lineáris rekurzív sorozatokban
Teljes hatványok lineáris rekurzív sorozatokban 57 Legyenek g>lésO<r<ç rögzített egész számok. Akkor mondjuk, hogy egy G sorozat G n és G m eleme azonos (ç, r) hatványosztálynak eleme, ha G r nG^ r teljes ç-adik hatvány, azaz ha létezik egy w egész szám úgy, hogy G r nG^ r = w*. Megjegyezzük, hogy r és q — r hiányában a q hatványosztályok G nG m = = w q definíciója q > 2 esetén nem sorolná az elemek mindegyikét osztályokba mert a reflexivitás és a tranzitivitás nem teljesülne. Bizonyítjuk, hogy a G sorozat bármely G n elemének ( q, r) osztályában nincs olyan G m elem, melyre m > n ha q elég nagy. Tétel. Legyen G egy fc-adrendű lineáris rekurzív sorozat, mely kielégíti a fenti feltételeket. Tegyük fel, hogy d ^ 0 és G{ / da 1 ha i > no. Akkor bármely n egész szám esetén létezik egy n-től és G-től függő qo szám úgy, hogy a (2) G r nGÍ~ r = w* egyenletnek nincs x,w,q,r megoldása x > n, q > qo és 0 < r < q/2 feltétellel. A tétel bizonyításában felhasználjuk Baker [1] következő eredményét. Lemma. Legyenek 7i,... 7 V nem zérus algebrai számok és legyenek ezek magasságainak felső korlátja M\,... M v. Tegyük fel, hogy M v > 4. Legyenek továbbá b\,... ,b v_i racionális egészek, melyek abszolút értéke legfeljebb B, és legyen b v egy nem zérus racionális egész |6 V| < B', B' > 3 feltétellel. Legyen L = \bi log 7! + ... + b v log 7uI, ahol a logaritmusok a főértékeket jelentik. Ekkor ha L ^ 0, úgy L > exp(-C(log B'\ogM v + B/B')), ahol C egy effektive meghatározható pozitív szám, mely csak az és v számoktól függ. (lásd Theorem 1 az [l]-ben, 6 = 1/B' helyettesítéssel). A tétel bizonyítása. Feltehetjük, hogy n > no, és n elég nagy, továbbá hogy w > 4, mert különben a tétel következik [21] vagy [6] eredményeiből, illetve az eredmények bizonyításából. Az általánosság rovása nélkül azt is feltehetjük, hogy a sorozat tagjai pozitívak.
