Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)

LIPTAI K.: KÖZÖS elemek másodrendű rekurzív sorozatokban

Közös elemek másodrendű rekurzív sorozatokban 53 Ha van közös eleme a két sorozatnak, akkor az előzőek miatt (9) x

2 - D

uy

2 = z

2 - D

vy

2 (= 1) valamely x,y,z pozitív egészekre, melyekre (x,y,z) = 1, és ebből x

2 + (D

v - D

u)y

2 = z

2 következik. Bevezetve a D = D

v — D

u = (VQ — u

2) jelölést a (10) x

2 + Dy

2 = ^

2 egyenletet kapjuk (ahol D > 0), melynek a fentiek miatt x,y,z egy primitív megoldása. A (10) egyenlet primitív megoldásait meghatároztuk a Lemmában. Nyilvánvaló, hogy ezen primitív megoldásokból kerülnek ki az (11) z

2 - D

uy

2 = 1 egyenlet megoldásai is. A (10) egyenlet megoldásai 3 típusba sorolhatók, ezek felhasználásával (11) a következőképpen alakul: (1) típusnál (d(d

í

U

2 - d

2v

2))

2 - D

uAU

2V

2 = 1. Négyzetreemelés, és a D

u = u

2 — 1 helyettesítés elvégzése után d

2d\u

4 - {2d

2d

íd

2 + 4u

2

0 - 4)u

2v

2 + d

2d\v* = 1, mivel d

2d\d

2 — D — vq — Uq, * (11) d

2d\u

A - (2vl + 2u\ - 4)u

2v

2 + d

2d\v* = 1 adódik. Hasonló módon a (2) típusú megoldás esetén (12) V - (2v

2 - u

2- 1 )u

2v

2 + d

2d'

2

2v* = 1, illetve a (3) típusnál a (13) d

2d\u

4 - (2v

2

0 + 2v

2 - 4)u

2v

2 + d

2d

2

2v

4 = 4