Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)

LIPTAI K.: KÖZÖS elemek másodrendű rekurzív sorozatokban

54 Liptai Kálmán egyenlet adódik. Thue egy ismert tétele szerint az f(x, y) = ax

4 + bx

3 + cx

2y

2 + dxy

z -f ey

4 — m, egyenletnek, ahol a,b,c,d,e egész számok, csak véges sok egész megoldása van, ha f(x,y) nem teljes négyzet (lásd. pl. [5], 235. oldal). A (11), (12), (13) egyenletnek véges sok u, v egész megoldása van, ha a bal oldal nem teljes négyzet. Ez akkor igaz, ha (14) 2v\ - u\ - 1 ^ 2d

2d[d'

2 = 2D = 2(v% - u

2

0), illetve (15) 2vl + 2u\ - 4 ^ 2d

2d

xd

2 = 2D = 2(v% - uj) teljesül A (14), (15) feltételek pedig teljesülnek, ha IÍQ 1» amit viszont a tételben kikötöttünk. Ebből következik, hogy a (9) egyenletnek csak véges számú x,y,z megoldása van és így a két sorozatnak csak véges számú közös eleme lehet. Megjegyzés. Megjegyezzük, hogy a tételben UQ ^ 1 feltétel szükséges. Ugyanis, ha u

0 = 1, akkor a G(2,1,0,1) sorozat azonos a temrészetes számok sorozatával, és így minden sorozattal végtelen sok közös eleme van. Megjegyezzük még, hogy Kiss Péter [4] bizonyos rekurzív sorozatokra hasonló eredményeket nyert, ő az algebrai számok logaritmusainak lineáris formáira adott becsléseket használta fel a bizonyításban. Irodalom [1] J. BINZ

, Aufgabe 832, Elemsente Math., 35 (1980), 155. [2] EDGAR I. EMERSON, Recurrent sequences in the équation DQ

2 — R

2 -f N, Fibonacci Quart., 7 No3. (1969), 231-242. [3] P. KISS: Közös elemek másodrendű rekurzív sorozatokban. Acta Acad. Paed. Agriensis, 16 (1982), 539—546. [4] P. KISS, On common terms of linear récurrences, Acta Math. Acad. Sei. Hungar., 40 (1982), 119-123. [5] L. J. MORDELL, Diophantine Equations, Academic Press, (1969) [6] NlSHI, AKIRO, A method for solving a diophantine équation ax

2 -\-y

2 = Z

2, J. Fac. Educ., Saga Univ., 36 No. 2/IL, (1989), 25-29.