Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)
LIPTAI K.: KÖZÖS elemek másodrendű rekurzív sorozatokban
52 Liptai Kálmán hogy (7)-ben x páros és 2 páratlan, illetve fordítva, aszerint, hogy Di alakja 4k + 1, illetve 4k + 3. Ezzel a lemmát bebizonyítottuk. A Tétel bizonyítása. Tekintsük a G(2UQ , 1, 0,1) másodrendű rekurzív sorozatot, amely x 2 — 2UQX + 1 = 0 karakterisztikus egyenletének gyökei A U, ß u, illetve az R{2VQ , 1, 0,1) sorozatot, amely karakterisztikus egyenletének gyökei cx v,ß v. Jól ismert, hogy ekkor a tagok explicit alakja a n - 3 n a n - 3 n G N= » P « illetve, Pu Pl) Vezessük be a következő jelöléseket: es oc u — ß u = 2 yjul - 1 = 2 y/D^, a v-ß v = 2yJ Vq — 1 = 2\J~D~ V. Belátjuk, hogy y = G n, illetve y = R N valamely z-el, illetve z-ve 1 az (8) x 2 - d uy 2 = 1, illetve z 2 - d vy 2 = 1 egyenlet megoldásai. Csak G n-re bizonyítjuk, _ß n-re a bizonyítás hasonló. miatt, 1 + D uy 2 = 1 + D uGl = 1 + (a 2 n - 2ß n uß n u + ß 2 u n) = ahol felhasználtuk, hogy a uß u = 1. A binomiális tétel segítségével — felhasználva a u,ß u alakját — igazolható, hogy *=(? + ? egész.
