Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)

LIPTAI K.: KÖZÖS elemek másodrendű rekurzív sorozatokban

Közös elemek másodrendű rekurzív sorozatokban 51 Mivel x és z most is páratlan, z x és z — x közül az egyik osztható 4-el és mindkettő páros, így 2 \ ky, ami lehetetlen, mert k és y páratlan. Tehát ebben az esetben sincs primitív megoldása (5)-nek. Ha 8 I akkor Di alakja Di = 4D[, ahol D[ páros. Az (5) egyenletet írjuk a következő alakba: x

2 + D[(2y)

2 =z

2. Ezen egyenlet megoldásai az előzőek miatt x = d[u

2 — d'

2v

2, 2 y — 2 uv, z = d[u

2 -f d'

2v

2, ahol d[d

2 = D[. így y = uv, amely páratlan, ha u, v páratlan. Ekkor tehát a megoldások (2) típusúak. A tételbeli feltételek mellett [x,y,z) = 1 is teljesül. Most tekintsük a D\ páratlan esetet. Ekkor Diy

2 páratlan és x,y paritása különböző. Az előzőekhez hasonlóan (5)-ből 2 Z "f" X Z X ^ d\ d

2 adódik, ahol d\ ,d

2 jelentése a szokásos. Könnyen belátható, hogy ^à^ relatív prímek, és ezért —-— — u es —-— = v ai d-i adódik, ahol u,v páratlan és (u,v) = 1. Ekkor (5)-re 2 = diu

2 + d

2v

2), (7), x = ^{diu

2 - d

2v

2) y = uv megoldások adódnak, amiből a (4) egyenletre megkapjuk a tételbeli (3) típusú megoldásokat, melyek a feltételek mellett primitívek. Megjegyezzük,