Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)
LIPTAI K.: KÖZÖS elemek másodrendű rekurzív sorozatokban
50 Liptai Kálmán Abból, hogy , = 1, következik, hogy z X z — x 2di ' 2d 2 ' L Ekkor a (6) egyenlőség csak úgy teljesülhet, ha X "I- £ ^ Z X o -W = u es = ahol u, v pozitív egészek. Ebből x = d\u 2 — d 2v 2, y — 2m; adódik. Ezek után a (4) egyenlet x Q,yo,zo azon megoldásai, melyekben yo páros, a következők: Xo = d(d\u 2 — d 2v 2), Vo = 2uv, z 0 = d(diu 2 + d 2v 2), ahol d 2d\d 2 — D és (d\,d 2) = 1. Könnyű belátni, hogy ezek a megoldások primitívek, ha (u,v) = 1, (cí, ti) = (d, u) = 1, (diu,d 2v) = 1 és diu,d 2v különböző paritásúak. Azt is könnyen beláthatjuk, hogy D minden D = d 2d\d 2 alakú felbontása esetén %o,yo, zo megoldása (4)-nek. A következőkben azon megoldásokat keressük, melyekben y páratlan. Legyen 2 || D\. Ekkor, mivel D\y 2 páros, x és z paritásának meg kell egyezni. Az (x, z) = 1 feltétel miatt x és z páratlan. Ebben az esetben x 2 + D xy 2 = S (mod 4), és z 2 = 1 (mod 4), tehát ebben az esetben y páratlan megoldás nem létezik. Legyen 4 || D\. Ekkor D\ alakja D\ — 4ahol k páratlan. Az (5) egyenlet a következő alakra hozható: k y2 = (X+Z){Z-X)
