Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)

TÓMÁCS T.: Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról

32 Tómács Tibor alakban, ahol a; = 1 vagy 0. Jelöljük ezt röviden m = CLjCij1 ... öi módon. Definiáljuk a T

k(m) sorozatot T

k(0) = T

k{ 1) = 0 kezdő értékkel és a j (2) T

k(m) = djüj-i ... a

2 - y^ a

lb

i^

í (

m > 1) i-2 formulával, ahol az a

t számok m-nek (l)-ben difiniáit előállításában szereplő együtthatói. A G

k(n) és Tfc(rc) sorozatok szoros kapcsolatban vannak egymással, D. S. Meek és G. H. J. Van Rees [3]-ban bizonyították, hogy (3) G

k{n) = T

k(n - 1) + 1 (n > 1). Jelöljük ai — a, oí2, 0!3,..., «fc-val a b

n sorozat karakterisztikus poHnomjának — a.z x

k — x

k~

l — 1 polinomnak — a gyökeit. Ismert, hogy van a gyökök között egy legnagyobb abszolút értékű pozitív valós gyök, ezért feltehetjük, hogy (4) a > \o>21 > |a

3| > > \a

k\ > 0, ahol a > 1 valós szám (lásd K. Dilcher [1]). Kiss Péter [2]-ben a G

k{n) sorozat tagjainak átlagát vizsgálta, és bizonyította, hogy elég nagy n egészek esetén 1 N (

5) N ^ Gk{l

) = + + v*

a* + °K) + ^t

1)' i=1 ahol TV = 6

n+i és a csak k-tói függő valós konstansok. Ezen dolgozat célja megmutatni, hogy nemcsak N = b

n

+1 alakú egészek esetén igaz az (5) formula. A következő tételeket bizonyítjuk: 1. Tétel. Legyenek k > 2 és t rögzített pozitív egészek. Ekkor elég nagy pozitív n egészek esetén 1 N 1 J E (0 = + »2*? + «3«? + 0(1) + OK)) —-,