Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)

TÓMÁCS T.: Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról

Egy rekurzív sorozat tagjainak atlagáról 33 ahol N = b

n

+1 + t és a v3 cs

ak k-tói függő konstansok. 2. Tétel. Legyenek k > 2 és t > k rögzített egészek. Ekkor elég nagy pozitív n egészek esetén ^ E = + ®í«í + »X + 0(1) + OK)) -^p-, Í = 1 ahol N = 1 + b

n-t+ii és a v[,v'

2, v'

3 csak k-tói és /-tői függő konstansok. Megjegyzés. Az 1. tételben a Vi,v

2,v

3 konstansok megegyeznek az (5)-ben található konstansokkal. N 1. TÉTEL BIZONYÍTÁSA. Vizsgáljuk a E G

k(i) összeget. Bontsuk fel két tagra az alábbi módon. N 1 N (6) = + E î=1 i—1 í=6

n + i+l Az első összeg [2] szerint (7) bn+1 E Gk(i) = r^

2

n + r

2a

na£ + r

za

nc% + Ua

2

2

n + + r

5al

n + r

Qa

2a^ + 0(a

n) + 0(a

n<) alakban írható fel, ahol r; (i = 1, 2, 3,4, 5, 6) fc-tól függő konstansok. (3)ból N E G

k{i) = T

k(b

n+

l ) + 1 + T

k(b

n+

1 + 1) + 1 H + - 1) + 1 = z=6„ + 1+l N-I 6

n

+i+í-l = N~b

n+

l+ e r

f

c(o = í+ E következik. Elég nagy n esetén teljesül, hogy í < ö

n-fc+2, ezért TV < 6

n+

2így definiciója miatt minden ó

n+i < i < b

n

+1 + t — 1 egész esetén Tjfc(i) = b

n + - b

n

+1). Ebből következik, hogy N t-l Z = f>n + 1+1 t=0