Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)

TÓMÁCS T.: Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról

Egy rekurzív sorozat tagjainak átlagáról TÓMÁCS TIBOR Abstract. (Avarage order of the terms of a recursive sequence) For a fixed positive integer k > 2 let the sequence Gk{

n) of natural numbers be defined by Gfc(O) = 0 and Gk{n) = n — Gk(Gk(- • • (Gk(n — 1)) . . .)) , (n > 1) with k itérations of Gk on the right-hand side. Dénoté by ai = Ct, a?2, Ct3, . . . , Ctk the roots of the characteristic polynomial f(x) = X

k — — 1 of the generalized Fibonacci sequence b

n. It is known that these roots are distinct and that there is a positive root among them with the greatest modulus, thus we can suppose that O

L > |Oí2 [ ^ l^ßl ^ ' ' ' ^ l^FC | > 0 (see e. g. [l]). In [2] P. Kiss proved that for any positive integer n, large enough, and k > 2 we have jj G k(i) = vl

N + *>2<*2 + v3^3 + ) + 0(1), where N — a

nd V\, V

2

l are constants depending only on k. In this paper we generalize this result. Legyen k > 2 rögzített egész szám. Definiáljuk a természetes számok egy Gfc(n), n = 0,1, 2,... sorozatát a Gk{0) = 0 kezdő elemmel és a Gk(n) = n - Gk(G

k{. . . {Gk(n - l)) . . .)) rekurzív formulával n > 0 esetre, ahol a jobb oldalon G^-nak k-szoros iterációja van. Belátható, hogy a sorozat minden tagja jól definiált természetes szám (lásd Zay B. [4]). Legyen _ í n, ha n = 1, 2,..., k, n ~ \ 6

n_

i + b

n__

k, ha n > k a Fibonacci sorozat fc-adrendű általánosított sorozata. Egy m pozitív egész esetén tekintsük azt a legnagyobb egész számot, melyre b

H < m teljesül. Legyen mi = m — b

H. Ha m\ ^ 0, válasszuk a legnagyobb i

2 egész számot, melyre b{

2 < mj. Legyen m

2 = mi — b{

2. Ha m

2 / 0, folytassuk az eljárást. Ez az algoritmus véges sok lépésben befejeződik. így minden pozitív egész szám egyértelműen felírható b

n sorozatbeli elemek összegeként (1) j m = y^ a

lb

l i = 1