Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)
SZEPESSY B.: A magasabb rendű fixpontokról
12 Szepessy Bálint 3. f[u) = d, és akkor f(v) — c\ • • » 4. /(u) = c, és akkor f(v) = d lehetőségnek megfelelően az 1,3, 2,3, 1,4, 2,4, esetpárok az összes lehetséges előfordulásokat kimerítik. Először az 1,3 esetpárral foglalkozunk (1. ábra) Ekkor van a 6 szakaszban olyan e elsőrendű fixpont, amelytől jobbra f(x) > > x, hacsak x < q, azaz f(x) az [e,q] szakaszban minden értéket felvesz e és d között. A tétel állítása egyszerűen nyerhető, ha igaz a következő. 1.1. Segédtétel. A tétel feltevési mellett az 1,3 esetben (de az 1,4 esetben is) bármely n természetes szám esetén vari a fi szakasznak n-edrendű inverz-it er ált szakasza az (e,q] szakaszban. Az így keletkező fi_ n .sorozat elemei közös belső pontot nem tartalmazó szakaszok. Az 1.1. segédtétel bizonyítása. Először azt látjuk be, hogy ha [u,v] = fi tetszőleges részszakasza az [e,d] szakasznak, akkor mindig van fi-1 C [e,q] szakasz amelyre (fi-i)i = fiMivel az [e,q] szakaszban f(x) minden értéket felvesz e és d között és e < u < v < d, ezért mind az mind a v pontnak van az [e,ç] szakaszban (legalább egy-egy) inverz-iterált pontja. Tekintsük a v pont [e,q] szakaszbeli inverz-it er ált j ai közül azt, amelynek abszcisszája a legkisebb és jelöljük ezt f-i-gyel. Tehát = min {a:}, f(x) = v. Az u pontnak az [e,q] szakasze<.x<q beli inverz-iterált pontjai közül a v_i-től balra, a hozzá legközelebb esőt választva legyen ennek abszcisszája azaz u^i = max {x}, f(x) — u. Könnyű megmutatni, hogy a i = [u_i, szakasz első iteráltja az [u,v] szakasz. Ismert ugyanis, hogy az [a,è] valamely zárt e részszakaszának első iteráltja a [min/(a:); max/(x)] szakasz. Márpedig min f(x) = = /(w_i) = u, hiszen ha a fi-i szakasz belsejében lenne olyan r pont hogy f(r) < U-i teljesül, akkor — az f(x) függvény [e,q] szakaszbeli folytonossága következtében — lenne olyan 5 pont is, amelyre f(s) = u teljesül r < s < V-i, ellentétben azzal, hogy U-\ = max {x},f(x) = u. e<x<u_i Hasonlóképpen látható be az is, hogy max f(x) = f(v_ x) = v. Tehát XGM-I {fi-i) í = ,v-ili = [u,v] = fi teljesül. Ennek megfelelően a fi szakaszból kiindulva képezhetjük a fi_\ szakaszt, majd eljárásunkat folytatva a fi-i szakaszból kiindulva a /i_ 2 szakaszt, ...; s így előáll a fi_ n (n = 1, 2,...) végtelen szakaszsorozat, amelyre (/Lí_ n) = = fi-(n-l)' Még azt kell megmutatni, hogy bármely két ilyen inverziterált szakasznak nincs közös belső pontja. Ezt indirekt bizonyítással mutatjuk meg.
