Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)
SZEPESSY B.: A magasabb rendű fixpontokról
A magasabb rendű fixpontokról 13 Tegyük fel, hogy ß-n e s /^-(n +k) (k pozitív egész) olyan szakaszpár, amelynek mind a két szakaszában közös belső pontok vannak, akkor e pontok első iteráltjai a /i_ n+i és a j szakaszok közös pontjai lesznek, és folytatva eljárásunkat azt nyerjük, hogy a (/i_ n) n = /í és a = fi_ k is közös belső ponttal rendelkező szakaszok. Ez azonban lehetetlen, mert /i-nak nincs ç-tôl balra eső pontja, /i.^-nak pedig minden belső pontja q-tói balra van. Ezzel a segédtételt bebizonyítottuk. Ezután a tétel bizonyítását a következőképpen folytathatjuk. A segédtétel szerint kialakított /z_ n szakaszsorozatra nézve (//_ n) n = // és így {ß-n) n +1 = Vi = [c, d]. Az fn+i(x) függvény tehát a //_„ szakaszt a [c,d] szakaszra képezi le, amiből következik, hogy vannak olyan s, t G /i_ n pontok, amelyekben f n +i(x) rendre a c és a d értéket veszi fel; / n+ 1(s) = c, f n +i(t) = d. E két pont által határolt //_ n-ben fekvő [min{s, í}; max{s, í}] szakaszban az / n+i(:r) — x (folytonos) függvény minden értéket felvesz az /n+i(5) — 5 = c — s és az f n +i(t) — t = d — t értékek között. Mivel ezek különböző előjelűek, ezért van az f n+i(x) — x függvénynek /z_ n-ben 0-helye; azaz van olyan r pont amelyre f n+ r(r) = r teljesül. Ez a pont tehát legfeljebb (n + l)-edrendű fixpont. Hogy éppen n+la rendszáma, az abból következik, hogy az r, r 2, r 3, ..., r 72 — 1 » ' 71 pontok rendre a /i_ n, /i_ n+i, , /i_ n +3,..., /2-1,/i szakaszok belső pontjai, s ezek közös belső pont nélküli szakaszok. így az r, ri, 7*2,..., r n_i, r n sorozat pontjai között nincsenek egybeesők. Ebben az esetben a tétel bizonyítását befejeztük. Foglalkozzunk ezután az 1,4 esetpárral. Az 1,4 esetpár esetén a bizonyítás úgy végezhető el, hogy az 1,3 esetpárhoz hasonlóan az [e, ç] szakaszban ugyanolyan //_1 — 1 ], /2—2 •> • • • ? H—m • • • végtelen intervallum-sorozatot képezünk, amelynek elemei páronként diszjunktak, s amelyekre teljesül, hogy (//_( n+ 1)) 1 = //_ n (n=0,l,2,...,). A /i_ n = [u_ n,v_ n] szakaszban az f n+i(x) iterált függvény minden [c,ci] szakaszbeli értéket felvesz, mert / n +i(w_ n) = f(u) = c; / n +i(v_ n) = = /(u) = d és / n +i(a;) folytonos ebben a szakaszban, ezért / n +i(x) — x — 0 egyenletnek van megoldása; legyen ez x. Mivel (x) l G /i_( n_i) ; (x) 2 G e /i-(n-2) ; • • • 5 (®)n ^ M» ezért az z, (x)i, (x) 2,..., (z) n iterált pontok páronként különbözőek; vagyis x (n -f l)-edrendű fixpont. A 2,3 és a 2,4 esetpár is egymáshoz hasonlóan tárgyalható, ezért csak a 2,4 esetpárt részletezzük. Az f(x) függvény [u, V] szakaszbeli folytonossága által most ebben az [u, v] = fi szakaszban van olyan e elsőrendű fixpont, amelytől balra f(x) < x, hacsak x > u. Tehát f(x) minden értéket felvesz c és e között (2. ábra).
