Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1993. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 21)

Tómács Tibor: A rekurzív sorozatok egy alkalmazásáról

csak három különböző diszkriminánst Ezért elég a következő egyenleteket vizsgálni: (1) (2) (3) nx

2 + (n + 2r)x-(ii + r) - 0 , (n + r)x

2 +nx-(n + 2r) = Q , nx

2 + (n + r)x ~(n + 2r) = 0 . Mahanthappa [2] r -1 esetén megadta az összes olyan n pozitív egészet, melyekre racionálisak a gyökök. Ezek az (1) egyenlet esetén n - F

2

mF

2m+

3, a (2) egyenlet esetén n^

F2m

F2m

+1"

1» és a ® egyenlet esetén n = F

2m+

l-1, ahol m > 1 egész, és F

k a Fibonacci sorozat A -adik tagja. Most tekintsük az r > 1 esetet Ekkor egyszerű következményként kapjuk, hogy az (1) egyenletbe n = rF

2

mF

2m+

3, a (2) egyenletbe n = rF

2

mF

2m+

l-r, és a (3) egyenletbe n = rF

2m+

]-r helyettesítve, ahol m > 1 egész, racionálisak lesznek a gyökök. Nevezzük ezeket triviális választásoknak. A dolgozat célja, hogy találjunk nem triviális pozitív egész «-eket, melyekre szintén racionálisak a gyökök. A következő tételeket bizonyítjuk: 1. Tétel: Legyen az r > 1 egész r = u

2 -uv-v

2 alakú, ahol u és v pozitív valós számok. Legyen } (k = 0,1,2,...) egy másodrendű lineáris rekurzív sorozat, melyet az Rq = v,R

x -u kezdőelemek és az R

k - R

k

x + R

k

2 rekurzió definiál, ahol k > 1 egész. Legyen továbbá N

m = R

2

mR

2m+

3, ahol m > 0 egész. 6