Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1993. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 21)

Róka Sándor: Ray-Chaudhuri-Wilson típusú egyenlőtlenség hármas metszetek esetén

a megadott felsőkorláthoz, ott m vett metszete 2-elemű, tehát ezekből legfeljebb az egyik szerepelhet az A

l,A

2,...,A

m rendszerben. Valamint az kell még megfigyelni, hogy minden más 3-elemű halmaz A

t-hez képes „jó", azaz egy „jó" A* halmazra \A

i nA* nA

k |< 1 teljesül. így, ha w + m*3(«-3) <( 3 ), akkor van olyan 3-elemű halmaz, amely az A

1

>A

2,...,A

m halmazok mindegyikéhez „jó", s így ezzel bővíthetjük a rendszert Ez az egyenlőtlenség a fenti m érték esetén elegendően nagy n-re már teljesül. Tehát valóban, nagyságrendjében pontos az m<\n(n-1) becslés. A következőkben konstruálunk a tétel feltételeit kielégítő halmazrendszert Az első konstrukcióban m értéke nagyságrendjében n

v

2, míg a második konstrukció közel van 4 Erdős Páltól származik a következő probléma [1]: Adott n pont a síkon (melyek között nincs három kollineáris), és minden ponthármas köré kört írunk. Mennyi a maximális száma az egységsugarú köröknek? Jelölje ezt a maximumot / («). 3 *n Erdős igazolta, hogy — < /(«) < n(n -1). Elekes György [2] egy szellemes konstrukcióval megmutatta, hogy f(n) > c * n

m és megjegyzi, hogy valószínűleg nagyságrendjében ilyen a pontos korlát Az n-pontból álló halmazt jelölje X, s azon ponthármasokat, melyek köré írt körök sugara 1 egység: A

]

?A

2,...,A

m. Ezek — mint könnyen látható — kielégítik a tétel feltételeit Ezért mondhatjuk, hogy / (n) < Sajnos a tétel és Erdős problémája közti kapcsolatból nem vonható le olyan következtetés, mely az egy107