Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1984. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 17)

II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL - Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához III. (A tetszőleges magasrendű ciklusokról)

A tétel bizonyítását most megszakítjuk és megmutatjuk, hogy igaz az 1.1 segédtételhez analóg 2.1 segédtétel. A tétel feltevéseiből következik, hogy bármely (természetes) n szám esetén van a a szakasznak n-edrendű itiverz­iterált szakasza a [e, e] szakaszban. Az így előállítható ff_ n sorozat elemei kö­zös belső pontot nem tartalmazó szakaszok. A segédtétel bizonyítása: Most is először azt látjuk be, hogy ha [u, v] - g az [a, e]szakasz tetszőleges részszakasza, akkor mindig van g_ 1c[c, e] amelyre (í?-i)i = e­Mivel a s u < v s e cs f(x) a [c, ej szakaszban minden értéket felvesz a és e között, ezért mind az u, mind a v pontoknak van a [e, e] szakaszban inverz-iterált pontja. Tekintsük az u pont [c, e] szakaszbeli inverz-iteráltjai közül azt amelynek abszcisszája a legnagyobb és jelöljük ezt u_ rgyel; u_ x = max {x}, f(x) = u, e<x<e A v pontnak az [c, e] szakaszbeli inverziterált pontjai közül az u_,-től jobbra a hozzá legközelebb esőt választva jelöljük ennek abszcisszáját v_ t-gycl; v_j = min {x}, f(x) = v. (2. ábra). Legyen [u_ 1, v_j] = g_ l U-i<x<e Éppúgy bizonyítható mint az 1.1 segédtételnél, hogy {g-ih = q. Most már a a szakaszból kiindulva (o- 2 [a, c]) képezhetjük — az előzőek alapján — a <j_ 1, majd ebből kiindulva a szakaszt, . . . ; az így előálló <7_ n (n = 1,2, . . .) szakaszsorozatra [a_ n) 1 = <?_(„_,) Mint az 1.1 segédtételnél most is indirekt bizonyítással igazolható, hogy bármely két ilyen inverz-iterált szakasznak nincs közös belső pontja. Éppúgy megmutatható, mint 1.1-nél hogy ha a_ n és cr_ n_k állításunkkal ellentétben olyan szakaszpár amelynek mindkét szakaszában vannak közös belső pontok, akkor <7 és cr_ k is közös belső pontú szakaszok. Ez esetünkben azért lehetetlen, mert cr-nak nincs c-től jobbra eső, cí_k-nak pedig nincs c-től balra eső belső pontja. Ezzel 2.1 segédtételt bebizonyítottuk. Ezután a 2. tétel bizonyítása szó szerint úgy foytatható és fejezhető be, mint az 1. tétel esetén. Megjegyzés: a < p vagy d < b esetén a tétel érvényessége nem függ az f(x) függvény [a, p] vagy [d, 1)] szakaszbeli menetétől, q < c esetén a [q, c] szakaszbeli viselkedésétől sem. A bizonyításból kitűnik, hogy a tétel akkor is érvényes, ha f(x) ezekben a szakaszokban nem is folytonos. Ézeknek a tételeknek a segítségével bizonyítható a következő két tétel: 3. tétel. Legyen a =s c < d < b .Ha f(x) az [a, b] intervallumon értelmezett olyan iterációs alapfüggvény, amelyre az f(c) = c, a f(d) c és max f(x) d relációk teljesülnek, akkor bármely (természetes) n szám esetén van az f(x) függ­vénynek n-edrendű fixpontja. BIZONYÍTÁS. Legyen max f(x) = u és e egy olyan pont a [c, d] szakasz­X etc.clj ban, amelyre f(e) = u( ^ d) tlejesül (3. ábra) Mivel a [c, d] szakaszban f(c) = c, f(e) = u és az [e, u] szakasznak a fel­tételek értelmében van olyan [r, s] részszakasza amelyet f(x) az egész [c, u] szakaszra képez le, ezért f(x) [a, c] és [s, b] szakaszokban való menetétől függetlenül — az 1. tétel és a bizonyítása után tett megjegyzés értelmében — bármely természetes n szám esetén van az f(x) függvénynek n-edrendű fix­pontja a [c, d] szakaszban, 839

Next

/
Thumbnails
Contents