Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1982. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 16)

II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBÖL - H. Molnár Sándor: Háromszögek szögeinek lineáris függetlenségéről

HÁROMSZÖGEK SZÖGEINEK LINEÁRIS FÜGGETLENSÉGÉRŐL H. MOLNÁR SÁNDOR Ismeretes, hogy ha egy c természetes szám primhatványtényezős felbontásában nem szerepel 4k + 3 alakú prímszám páratlan hatványon, akkor c felírható két négyzetszám összegeként: c = u

2 + v

2 (lásd pl [1] 102—105. oldal). Ha uv > 0 akkor a = 2 uv, b = u

2— v

2 j és c oldalakkal egészoldalú derékszögű háromszög szerkeszthető. Az ilyen tulajdonságú számhármast a továbbiakban (aj, b

i

5 cj-vel jelöljük, az a

v b

b c

i egészoldalú derékszögű háromszög egyik hegyesszögét pedig A továbbia

kban feltesszük, hogy az a

í

f b

i

5 c

i egészek relatív primek. Ha c — 4k + 1 alakú prim, akkor pontosan egy (a, b, c) számhármas van fenti tulajdonsággal, mert szempontunkból (a, b, c) és (b, a, c) egyenlőnek tekinthető. Tekintsük a 4k + 1 alakú primek egy n elemű halmazát és a hozzájuk mint átfogókhoz tartozó egészoldalú derékszögű háromszögek egy-egy &

i hegyesszögét. S. Chovla, P. Hartung és G. Sterling [2]-ben a következő kérdést vetette fel. Teljesül-e racionális r. számokkal a triviális rj = 0 (i = 1, 2, . . ., n) esettől eltekintve? A problémára a választ is megadták. Az n = 2 esetben bizonyítottá

15

1, hogy ha ©i és ©2 egy p, illetve q átfogójú egészoldalú derékszögű háromszög hegyesszöge, ahol p és q különböző 4k -f- 1 alakú prímszámok, akkor ©i és ©2 lineárisan függetlenek a racionális számok teste fölött, vagyis ri ©1 + r

2 ©2 ~ 0 racionális r\, r

2 esetén akkor és csak akkor teljesül, ha rí — r

2 = 0. Utalnak rá, hogy tetszőleges n > 2 esetén analóg módon lehet bizonyítani. A [3]-ban olyan egészoldalú derékszögű háromszögek hegyesszögeivel foglalkoztunk, melyeknek az átfogói nem feltétlenül prímszámok. Megmutattuk, hogy a [2]-ben felvetett problémára a válasz nem nyilvánvaló. Bizonyítottuk ugyanis, hogy ha k és m tetszőlegesen adott pozitív egészek, akkor a k ©1 — m ©2 = 0 egyenletnek végtelen sok 0|, ©

2 megoldása van az egészoldalú derékszögű háromszögek hegyesszögeinek a halmazában. Megmutattuk, n Zri-Gi ~ 0 (1) 567