Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1982. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 16)

II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBÖL - H. Molnár Sándor: Háromszögek szögeinek lineáris függetlenségéről

hogy ha az adott 1*1, r-y, . . r

n racionális számok között van pozitív is és regatív is, akkor (1) megoldható az egészoldalú derékszögű háromszögek hegyesszögeinek a halmazában. Bizonyítottuk azonban azt is, hogy páronként relatív prim átfogók esetén (l)-ből r^ = 0 (i = 1, 2,..., n) következik, ami a [2]-ben megfogalmazott tétel általánosítása. Az n = 2 esetben megmutatuk, hogy a feltétel egy gyengébbel helyettesíthető, nevezetesen: Legyen 0i és S2 az (ai, b|, Cj), illetve az (a->, b

2, o») egészoldalú derékszögű háromszög egy-egy hegyesszöge. Ha van olyan p prímszám, mely a cy és c

2 átfogók közül pontosan az egyiknek osztója, akkor (9i és O2 lineárisan függetlenek a racionális számtest felett. A [3]-ban még nem adtuk meg annak szükséges és elégséges feltételét, hogy két egészoldalú derékszögű háromszög egy-egy hegyesszöge lineárisan függő legyen a racionális számok teste fellett. A kritériumot jelen dolgozatban közöljük. Általánosítjuk továbbá a [3]-ban elért néhány eredményünket. Elégséges feltételt adunk arra, hogy két egészbefogójú derékszögű háromszög (melyek átfogójának mérőszáma lehet irracionális szám is) egy-egy hegyesszöge lineárisan független legyen a racionális számok teste fölött. Elégséges feltételt adunk továbbá arra, hogy két egészoldalú, nem feltétlen derékszögű háromszög egy-egy 90°-tól különböző szöge lineárisan független legyen a racionális számok teste felett. A továbbiakban (a, b, c)-vel, illetve (aj, bi, c

i)-vel jelöljük azt a háromszöget, mely oldalainak mérőszámai a, b, c, illetve a.j, b

{, c

Í

5 függetlenül attól, hogy a háromszög derékszögű-e vagy sem, illetve attól, hogy az oldalak mérőszáma egész szám-e, vagy sem. Nem megy az általánosság rovására, ha felteszszük, hogy az egészoldalú háromszögek oldalainak mérőszámai relatív primek, továbbá, ha (a, b, c) egy derékszögű háromszög, melyben a és b egész, akkor a és b relatív primek. Az alábbi tételeket bizonyítjuk: 1. Tétel. Legyen 6>i, illetve 0

2 az (ai, b|, C|), illetve az (aj, bj, c^Jegészoldalú derékszögű háromszög a\, illetve a> befogóval szemközti szöge. A 0\ és (")•> akkor és csak akkor lineárisan függő a racionális számok teste felett, ha vannak olyan k és m pozitív egészek, melyekkel: 1° 3° \kO\ - m<9

2; < 1 feltételek teljesülnek, ahol az arcsin — -nek a [lg k] + 1-dik tizedes jegyig, 568