Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1982. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 16)

II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBÖL - Dr. Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához II

2. Az első- és másodrendű ciklusokról Tétel: Ha valamely [a', b'] (a'< b', a', b'e [a, b]) szakaszt a benne monoton növekvő iterációs alapfüggvény a szakaszra magára vagy magába képez le, akkor ebben a szakaszban legfeljebb elsőrendű fixpontok lehetnek. Bizonyítás: Tegyük fel, állításunkkal ellentétben, hogy van r-edrendű ciklus; legyen ilyen pl.: c, C|, C2,..., c

r_j, ahol r 2 és f (c

r_i) = c

r = c. Feltehető, hogy c a legkisebb abszcisszájú fixpont; azaz C < Cl, C'2, . . ., c

r_] (A jobb oldalon levő fixpontok sorrendje nem okvetlenül nagyságszerinti!) A c < c,-_i egyenlőtlenségből az f (x) monoton növekedése miatt f (c) <f (c

r_i) következik. De f (c) = C| és f (c

r i) = c miatt C| < c, azzal ellentétben, hogy c a ciklus legkisebb eleme. Nem lehet tehát r = 2. Megjegyzés: Az [a

; b'] szakaszban mindig van legalább egy elsőrendű fixpont. Az egész szakaszon ugyanis f (x) — x > 0 (vagy f (x) — x < 0) nem teljesülhet, mert f (x) — x > 0 (f (x) — x < 0) esetén f (x) nem képezi le a szakaszt önmagára vagy önmagába. (1. ábra.) Előfordulhat az is, hogy az [a', b'] szakaszban végtelen sok elsőrendű fixpont van. Ekkor ezek torlódási pontjai is elsőrendű fixpontok. Legyenek ugyanis C| Co, C3,.. ., C

n, . . . elsőrendű fixpontok, legyen C torlódási pontjuk; mivel C = lim C n és f(C„) = C

n i-00 1 1 1 így C = lim C „ = lim f(C,J = f(lim C

n ) = f(C) i -"00 < i -00 ' i-00 i ezért C is elsőrendű fixpont. Végül az is előfordulhat, hogy az [a', b'] szakasz csupa elsőrendű (taszító) fixpontból áll. Ilyenkor f (x) = x az egész [a', b'] intervallumon. Tétel: Ha valamely [a', b'] (a', b', e [a, b]) szakaszt a benne monoton csökkenő iterációs alapfüggvény a szakaszra magára vagy magába képez le, akkor ebben a szakaszban csak első és másodrendű fixpontok lehetnek. Bizonyítás: A tétel visszavezethető az előbbi tételre, ha figyelembe vesszük, hogy az [a', b'] szakaszban monoton csökkenő függvényre f (a') ^ f (x) f (b') egyenlőtlenségek teljesülnek és így f (x) — x az a' helyen pozitív a b' helyen negatív értékű. Az f (x) folytonossága miatt van tehát egy megoldása az f (x) — x = 0 egyenletnek, és ez az egyetlen c elsőrendű fixpont. Monoton csökkenő függvény monoton csökkenő függvénye (iteráltja) monoton növekvő, ezért f> (x) függvény az [a', b'] szakaszt önmagára vagy önmagába leképező monoton növekvő függvény (2. ábra). Erre mint alapfüggvényre alkalmazható tehát az előbbi tétel; az fo (x) függvénynek csak elsőrendű fixpontjai lehetnek, s ezek a c pont kivételével mind másodrendű fixpontjai az f (x) függvénynek. Igaz tehát az állítás. 558