Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1982. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 16)

II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBÖL - Dr. Mátyás Ferenc: Wythoff-párok és a másodrendű sorozatok kapcsolata

Ugyancsak a 0 ^ (G

nn k — G

n) cp— G

n < 1 egyenlőtlenségből kiindulva és G

n. G

n ( k explicit alakját használva 0 ^ a a

n (a

k cp — cp — 1) — b /3

n (/?

k cp — cp — 1) < 1 egyenlőtlenséget kapjuk, melyből cp fi — rp

2 miatt adódik. Mivel k > 0, ha n elég nagy, így |a| >1 miatt (5) csak akkor teljesülhet végtelen sok pozitív n, n + k egészre, ha lim + l) (,•')"._ híj! z

k «

k a ' kJ a \ oc n -» 00 nfk Ez utóbbi viszont csak akkor állhat fenn — mivel 1 > |a|, 0 < k és < |a|, ha tetszőleges pozitív t-ra <P_ < £ cp Azonban értékei közül csak véges sok esik az egy szám egy adott köra

K nyezetébe, így szükséges, hogy cp = a

k álljon fenn. cp = a

k-ról pedig belátjuk, hogy csak k = 1 és a = cp értékek elégítik ki. Ugyanis a és fi az x

2— Ax — B = 0 egyenlet gyökei, így k > 0 miatt a

k + /3

k = A' és a

k • /?

k = —B' is egész szám, továbbá u

k és /?

k gyöke az x

2 — A'x — B' = 0 egyenletnek, cp = a

k miatt cp

2 — A' cp — B' = 0, így cp minimális definiáló polinomjának egyértelműségéből u

k + ^ = A' = 1 és a

k /i

k = (a /?)

k - (—B)

k = —B' - —1 következik. Ez utóbbiból kapjuk, hogy B = 1 és k (> 0) páratlan egész szám. A + /A

2 + 4 így az a = alakból egyszerűen adódik, hogy cp — a

k csak k = 1 z és A = 1 teljesül. Ezzel beláttuk, hogy (G

n, G

n+

k) = (uj, vi) végtelen sok n esetén csak akkor teljesül, ha A = B = 1 és k = 1. Ui > 0 és v

i > 0 minden i = l-re, így G

n > 0 és G

n+i > 0 végtelen sok n-re kell, hogy teljesüljön. 551