Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1982. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 16)

II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBÖL - Dr. Mátyás Ferenc: Wythoff-párok és a másodrendű sorozatok kapcsolata

valamely i ií 1 egészre, akkor Uj és v

i definíciója miatt (v

r—u-, = i) G

n+

k — G

n — i. (3) így (G

n; G

a+

k) — (G

n+

k — G

n) cp + G

n+

k — G, de ez (2) és cp- — cp + 1 szerint ekvivale szerint ekvivalens a n G

n ^ (G

I1+

k — G

n) cp <G

Ü + 1 G

a+

k =(G

n_(_

k — G

n) cp2 = (G

n+

k —G

n)(j9 + G

n+

k —G„<G

n+

k + 1 egyenlőtlenség rendszerrel, melyből n 0 — (Gr

n+

k — G

n) cp — G

n < 1 (4) adódik. Az eddigiekből következik, hogy a G — G (A, B, G

(

), G|) sorozat elemeiből akkor és csak akkor képezhető végtelen sok Wyrthoff-pár, ha (4)-nek végtelen sok n, n +k pozitív egész megoldása van. A továbbiakban a G — G (A, B. G

0, G|) sorozatra teljesüljön a D = A- + 4B > 0 feltétel is, így az x

2 — Ax — B = 0 egyenlet a, ft gyökei valósak. a = A 4= 0, D = (a — /?)

2 > 0 és |a| > 1. Tétel. Legyen a G = G (A, B, G„, G

() sorozatra AB 4= 0, D = A

2 + 4B > 0 és + A G sorozat G

n, G

11+[

k elemeiből akkor és csak akkor képezhető végtelen sok Wythoff-pár, ha A = B = k = 1 ése 0, cp — xp ahol cp és ip az x

2 — x — 1 = 0 egyenlet gyökei ; xp — Következmények. Legyen G = G (1, 1, G , G|) esetén e > 0 és 543