Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1982. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 16)
II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBÖL - Dr. Mátyás Ferenc: Wythoff-párok és a másodrendű sorozatok kapcsolata
Uj = [i(p] és Vj = [Í99 2] ahol 90 = - és [x] az x egész részét jelenti [7]. 2. Az Íiín) 0 0 ,és ít;,,! 0 0 .sorozatok a természetes számok egy particióját adják [1]. 1 1J n = 1 nJn= l A Wythoff-párok (2), valamint az F = F (1, 1, 0, 1) Fibonacci sorozat explicit alakja (1) azt sejteti, hogy a Wythoff-párok és az F sorozat között kapcsolat van. A. F. Horadam [4] és R. Silber [8], [9] a nem feltétlenül 0 és 1 kezdő elemekkel rendelkező, ún. Fibonacci-típusú G = G (1,1, G 0, G|) sorozatok és a Wythoffpárok kapcsolatát vizsgálták. A következőket bizonyították: a) A G = G (1, 1, N, [N 99]) alakú sorozatok tagjaiból az összes Wythoff-pár előállítható, ahol N pozitív egész szám [4], b) Ha (Go, Gj) Wythoff-pár, akkor G = G (1, 1, G 0, Gi) sorozat tagjaiból képezhető összes G n, G n_|_ t pár Wythoff-pár, ahol a páros [8]. R. Silber [9] a természetes számok Fibonacci-számok összegeként való előállítását (Zeckendorf-féle reprezentációt) használva szükséges és elégséges feltételt adott arra, hogy a Fibonacci-típusú sorozat G r i, G n_j_i szomszédos tagjai Wythoff-párt alkossanak. E szép eredmény hibája, hogy elég nagy számok esetén meglehetősen nehéz meggyőződni arról, hogy a szám Zeckendorf-féle reprezentációja a kívánt alakú-e. vagy sem, sőt az egész tétel alkalmazásához szükséges a G n, G n+ 1 értékek konkrét ismerete. A továbbiakban arra a kérdésre kívánunk választ adni, hogy van-e a Fibonacci-típusú sorozatokon kívül olyan másodrendű lineáris rekurzív sorozat, melynek elemeiből végtelen sok Wythoff-pár konstruálható, illetve karakterizáljuk a Fibonacci-típusú sorozatokat abból a szempontból, hogy a sorozat tagjaiból végtelen sok Wythoff-pár képezhető-e, vagy sem. Ha végtelen sok pár képezhető, akkor explicit alakban megadunk egy n 0 értékét, úgy hogy n = n 0 esetén minden G n, G ri + i pár Wythoff-pár legyen (n paritása állandó). Legyen G = G (A, B, G 0, Gj) (AB =1= 0, |G,| + |G 0| +0 és A 2 + 4B 4= 0) egy másodrendű sorozat, melynek G n és G, n+ k elemei az i-edik Wythoff-pár tagjai, azaz II. (G n; G n+ k) = (új; Vj) 548
