Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1982. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 16)

II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBÖL - Dr. Mátyás Ferenc: Wythoff-párok és a másodrendű sorozatok kapcsolata

WYTHOFF-PÁROK ÉS MÁSODRENDŰ SOROZATOK KAPCSOLATA DR. MÁTYÁS FERENC I. Definiáljuk a G = G (A, B, G

n, Gi) = |G

n |í£o másodrendű lineáris rekurzív sorozatot az A, B, Go, G[ rögzített egészekkel, amelyekre D = A

2 + 4B =1= 0 és a G

n = AG

n 1 +BGn-2 (n>l) rekurzív formulával. Ismert, hogy ha az x

2 — Ax — B = 0 egyenlet gyökei a, illetve fi, akkor G

n = a«

n — b /J

n (1) ahol a -és b = (lásd [6] 8

9. oldal)

< oc — p cc — p AG = G (1, 1, Go, G|) sorozatok Fibonacci-típusúnak, míg a G = G (1, 1, 0,1) sorozatot Fibonacci-sorozatnak nevezzük, és F = F (1, 1, 0, l)-el jelöljük. Definiáljuk az és (v

n}S=i sorozatokat az alábbi módon: ur = 1 ; vi: = 2 és k > 1 esetén Ukt = m, ahol m az a legkisebb pozitív egész, melyre Uj =1= m Vj 4= m és 1 = i < k, v

k : = u

k + k. Az (ui; V|), (U2; V2), .. . párokat Wythoff-pároknak nevezzük. Ez alapján pl. az első öt Wythoff-pár a következő: (1;2), (3; 5), (4; 7), (6; 10), (8; 13). Napjainkban — a Wythoff-párok eredetének tekinthető Wythoff-játéktól (a játék leírását lásd pl. [4]) függetlenül vizsgálták e párok sorozatának tulajdonságait, mint pl. V. E. Hoggatt, Jr., M. Bieknell Johnson, R. Sarsfield [3], W, W. Rouse Ball [7] és A. F. Horadam [4]. A továbbiakban két ismert eredményt idézünk: 1. Minden i = 1,2,... természetes szám esetén 35* 547