Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1982. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 16)

II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBÖL - Dr. Kiss Péter: Közös elemek másodrendű rekurzív sorozatban

ahol a = G| — Go/?, b = G

t — G

0 a, p = Hi — H

0 q = H

t — H

0 a és tegyük fel, hogy a//? nem egységgyök. Továbbá legyen m = max(|G

0|, \H

0\ , |Gj|, li/^), w = max(|6| , \q\), ^QgÍP/Ql log|a| és f = min I i-l

q/pl-M

[z

l |q/pI • l«l

|,1+

1 -1 4' 4 ' 4 4 A feltételek miatt a és fi valós és |a| 4= |/?[, ezért a továbbiakban feltehetjük, hogy |a| > \fi\ +0. Ezen jelöléseket felhasználva a következőket bizonyítjuk. 2. Tétel. Ha a G és H sorozatok nem ekvivalensek és \fí\ < 1, akkor nincs olyan közös elemük, melyek indexei nagyobbak mint n

0 + 1. Következmény. Az F = F (1, — 1,0, 1) Fibonacci és az L = L (1, —1, 2, 1) Lucas sorozatoknak csak 1 (= F| = Fo = Lj) és 3 (= F/, = L

2) a közös elemük. Ugyanis ebben az esetben «=(1+ 5)/2, fi = (1— /5), 2 és w= Y 5, és könnyű ellenőrizni, hogy n

n < 3. így F

{ = Lj csak akkor teljesülhet az 1. Tétel miatt, ha i < 3 vagy j < 3. Ezekben az esetekben pedig közvetlenül belátható, hogy csak a felsoroltak a közös elemek. 2 .Tétel. Ha a G és H sorozatok nem ekvivalensek, B < 0 és |/?| < 1, akkor nincs olyan közös elemük, melyek abszolút értéke legalább 6 mw |B|

n°. 3. Tétel. Ha a 4= 0, p =t= 0 és a G és H sorozatok nem ekvivalensek, akkor nincs olyan közös elemük, melyek indexei nagyobbak mint Megjegyezzük, hogy a 3. Tétel nem igaz. ha elhagyjuk az a 4= 0, p 4= 0 feltételeket. Ugyanis G =G (6,8,1,4) és H = H (6, 8, 1, 2) sorozatok esetén A = 6, B = 8 miatt a =4, = 2 és p = H

t — H

(

) fi = 0, a tagok explicit előállítása pedig G

n — 2

2

n, H

n = 2n. így a G

x = H

y egyenletnek végtelen sok megoldása van, de a két sorozat nem ekvivalens. 541