Állami főreáliskola, Debrecen, 1881

III. Ha most felteszszük, hogy n páratlan egész szám, akkor a Cos x — a mint világosan látható — csak páros hatványokra emelve fordul elő. Az igy megváltoztatott kifejezést igen egyszerű alakra hozhatjuk, ha tekintetbe veszszük, hogy : Cos

2 x= 1 - Sin

2 x, a mikor is, ha az együtthatók helyett sorban M

0 Mj M

2 tétetik : Smnx = M

0Sin»x+M

1 Sin-^-fM,, Sin

n~

2x+... 1) A mint látjuk, az egyenlet jobb oldali része Sin x-nek egész végszerü függvénye. Ugyanis f (a) = M

0 + M, a + M

2 a

2 +... M„ a" az a-nak oly függvénye, mely nullra reducálva egy n-ed fokú egyenletet ád f («) = 0 melynek gyökeit az egyenletek elméletének törvényei szerint meghatározhatjuk. f(<x) = M

n(a—aj (a—a

2) (a— a

n) Ezáltal igen alkalmas módot is találunk arra nézve, hogy a Sin x sorát szorzat alakjában fejezzük ki, mert ha ösmerjük valamely egyenletnek gyökeit, akkor ezen egyenletet ugy is előterjeszthetjük, mint a gyöktényezők szorzatát. Az aj a„ a

3.... a

n értékei, melyek mellett f (a) = 0 lehet 0 ±— -± ... ' n ' n n a honnan az 1 alattinak ezen gyökei lesznek : 0, ± Sin —; ± Sin — ± Sin — n n n Ha már most az egyenletet a fentebb mondottak szerint a gyöktényezők szorzata által akarjuk kifejezni, akkor nyerjük : Sin nx=M

0 Sin x| Sin x+ Sin^- j. | Sin x - Sin j . | Sin x+ Sin-^ j ... Sin x — Sin-" n vagy Sin nx = M

0 Sin x| Sin

2 x - Sin

2 ~ j . / Sin

2x — Sin

2 - J J Minthogy valamely mennyiség értéke nem változik, ha ugyanazon számmal szoroztatik és osztatik is, ez utóbbi egyenlet baloldalát szorozzuk is osztjuk is,| — Sin

2 ~ j . | — Sin

2 j • • • eli akkor az M állandó egy más értéket veszen fel és az egyenlet többi része is a következőkbe megy által : Sin

2 Sin

2 X \ Sin

2 n / Sin nx = n Sin x [ 1 — Q.„

2 K | . | 1 - gin

2 1 2)