Állami főreáliskola, Debrecen, 1881

III. Legyen d = 3, akkor nyerjük az ötszögszámok sorát: 1, 5, 12, 22, 35 és igy tovább. Pyramidal számok sorának, hasonló okból neveztetik a második öszszegezési sor, mivel hasonlóul a pontok három, négy vagy akárhány oldalú pyramis testet állapitanak meg. Interpolatio. A különbségi sorok alkalmazása között, igen fontos helyet foglal el az interpolatio vagy b e i g t a t á s, mely nem egyéb, mint találni egy oly f (x) függvényt, melyet U = ? (x) ismeretlen függvény helyett számításainkban használhatunk, s mely f (x) függvénynek azon tulajdonsága van, hogy az x = x

0, x,, x

2 ;... .x„, értékek helyett x = U

0, Uj, U

2 U„ értékeket vegye fel. Ha találtunk egy ilyen fix) függvényt, akkor ezen egyenlet U ™ f(x), az ismeretlen ® (x) függvénynek függési törvényét annál pontosabban feltárja, minél nagyobb az x és U értékeinek száma, és minél közelebb feküsznek ezek egymáshoz és minél szabályszerübbb az egymás utáni következés. Maga a feladat különben határozatlan, mert végtelen sok függvényt találhatni, melyek mind birnak azon tulajdonsággal, hogy x = x

0 Xj....x

n helyett U

0 Uj U

n értéket vehetnek föl. A feladat csak egy feltétel kikötése mellett leend határozott, ha például feltételül tüzzük ki, hogy f (x) függvény egy n-ed fokú egész végszerü függvény legyen. A legtöbb esetben x-nek adott értékei egymástól egyenlő távolságban feküsznek, ugy hogy: X] X

(

) — X

2 Xj = X

3 Xj, — Jelöljük az adott sor egymásután következő különbségi sorait: AU

0, A

2U

0, A

3 U

0.... stb. akkor U

n = U„ + n A U

0 + (2) A

2 U

0+. • . és tekintetbe véve, hogy x adott értékei egymástól egyenlő távolságra feküsznek : Xj Xq —

1 X

2 Xj —- X(J Xo — ll akkor leend : U

0 = f (x

0) U, — f (Xj) úgyde mivel x

t—x

0 = h és inuen Xj=z x

0 4- h tehát : U, = f (x

0+h) U

2 = f(x

2) és hasonló helyettesítés alapján U

2 = f (x

0+2h) és igy tovább. U

n = f (x

0-|-nh) leend az átalános tag képlete :