Állami főreáliskola, Debrecen, 1880
17 (Cos X + Sin a V^1)" = Cos n a Ifc Sin n a V^I Ezen képlet, mely a minden valós értékére, továbbá n-nek mind egész, mind tört értékére nézve érvényes, feltalálójától Moivre képletének neveztetik. Ezen képlet szerint az n-szeres szög függvényei, az egyszeres szög hatványai által adhatók, és a függvények hatványát az n-szeres szög függvényei szerint sorba lehet fejteni. Kisértsük meg tehát a Moivre képlet balóldalát a kéttagi törvény szerént sorba fejteni. (Cos a 4- Sin a V^^i)" = Cos" a + j Cos 11 a Sin a V~1 + + ^Cos"2a Sin'a V-i+ P( n~ 1, ) 2 (7 2 ) Cos"-SSiirV=T + = Cos II a + Sin 11 a \r~\ Ezen egyenlet csak akkor állhat, ha a valós mennyiségek külön, a képzetesek külön egyenlők. Azon tagok, melyekben a Sin a páratlan hatványra emeltetik, maradnak képzetesek, a többi tagokban pedig a képzetesség eltűnik. Ennélfogva leend a képletünk: t n n n n(n—1) n n_.2 2 . n (n—1) (n—2) (n—3) I. Cos 11 a = Cos" a — \ 2 Cos" a Sin 2 a + — : i.2,3. 4 COS"4 a Sin 4 a — . . . Hasonló levezetés nyomán: II. Sin u.=nCos"1 a Sin a - Cos"3 a Sin 3 a + Itt már az n-szeres szög Sinusa és Cosinusa, az egyszeres szög Sinusa és Cosinusa által van kifejezve. A sorok 11-nek igenleges egész értékeire nézve végesek. c) A Sinus x, és Cosinus x sorbafejtése. A fentebbiekben kifejtett I. és II. alatti képletekben tegyünk na helyett x-et, — hasonlóul tegyük fel hogy: 11 = -7- és a^= ~ akkor nyerjük: öt II Cosx = Cos"fL Í^ 1 Cos"- - * Sin'^+ + n( n"i?2 n3".l ( n~ 3 > Co s°" f Sin 4i" ~ • • * • Sinx = nCos""Sin f-Cos8 ± Sin*^ +• • •. Ha ezen egyenletekben Cos" -^-et közös tényezőül kiemeljük leend: 2
